1. Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają bądź to w pokoju, bądź na ulicach miasta, odznaczają się najróżnorodniejszymi cechami, wszystkie one jednak mają jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną.
Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp.
Wysokość nosi niekiedy nazwę głębokości, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.
2. Bryła jest oddzielona od innej bryły lub od otaczającej je przestrzeni powierzchniami. Sala, w której się znajdujemy, jest oddzielona od pozostałej części gmachu czterema ścianami, posadzką i sufitem. Budynek szkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczającej go przestrzeni, powierzchniami ścian zewnętrznych, powierzchnią ziemi oraz dachu.
Powierzchnia ma dwa wymiary: długość i szerokość.
3. Powierzchnię można ograniczyć lub oddzielić od innych powierzchni liniami.
Linia ma tylko jeden wymiar - długość.
4. Linię można ograniczyć punktem, który żadnego wymiaru nie posiada.
5. Bryły, powierzchnie, linie i punkty, nazywane są figurami geometrycznymi.
6. Jakkolwiek powierzchni nie możemy w rzeczywistości oderwać od bryły, linii od powierzchni, a punktu od linii, to jednak dla dokładniejszego zbadania ich własności będziemy je traktowali w naszej nauce niezależnie od podstawowej figury geometrycznej, do której należą.
Koniec ostrej igły daje wyobrażenie punktu, bardzo cienka nitka, drucik lub włos - wyobrażenie linii, a bardzo cienka blaszka - powierzchni. Są to jednak tylko wyobrażenia podstawowych figur geometrycznych, które istnieją jedynie w naszej myśli.
7. Przedmiot, który znajduje się w naszym otoczeniu, np. pudełko leżące na stole możemy przenieść w inne miejsce pokoju; mówimy wówczas, że ten przedmiot wykonał pewien ruch. Oczywiście, razem z pudełkiem poruszają się wszystkie jego elementy, więc ściany, dno i pokrywa, krawędzie i wierzchołki.
Odrywając myśl od ciała materialnego, możemy traktować ruch idealnej powierzchni, linii i punktu niezależnie od ciała, do którego one należą.
Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię.
Tak np., jadąc w nocy pociągiem, widzimy czerwone nitki powstałe przez ruch rozżarzonych drobnych odpadków węgla i otrzymamy w ten sposób wyobrażenie linii. Obserwując niebo w pogodną noc sierpniową, widzimy często srebrnoświetlne linie powstałe przez spadające gwiazdy.
Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię.
Koło szybko biegnącego wozu robi wrażenie pokrytego powierzchnią, powstałą przez ruch szprych kołowych.
Wreszcie przez ciągły ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę. Rozżarzona do czerwoności blacha żelazna, spadając w ciemności z góry na dół, daje wyobrażenie ciała geometrycznego w postaci czerwonego słupa.
Można więc powiedzieć, że istnieje jeden zasadniczy twór geometryczny, mianowicie punkt (bezwymiarowy), przez ruch którego powstaje twór jednowymiarowy - zwany linią, przez ruch linii powstaje twór dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twór trójwymiarowy zwany bryłą.
8. Dla lepszego zrozumienia i uprzystępnienia sobie nauki posługiwać się będziemy rysunkiem, należy jednak pamiętać, że rysunek, choćby najstaranniej wykonany, nigdy nie będzie figurą geometryczną, o której mówimy, ale tylko jej wyobrażeniem.
Zaznaczając na kartce punkt przez nakłucie zaostrzonym ołówkiem lub na tablicy przez naciśnięcie kawałkiem kredy otrzymujemy wyobrażenie punktu, mniej lub bardziej dokładne, zależnie od grubości końca ołówka lub kredy.
Dla odróżnienia punktów na rysunku oznaczamy je literami (najczęściej wielkimi), napisanymi obok punktu, np. punkty: A, B, C, E (rys. 1).
Rys. 1
Rys. 2
Niekiedy oznaczamy je tą samą literą, zwłaszcza jeżeli mamy na myśli punkty o pokrewnej własności, odróżniając je wtedy numerami, np. A1, A2, A3 itd.
9. Wśród linii wyróżniamy proste, łamane i krzywe.
Co to jest linia prosta (rys. 2a) nie będziemy określać - przyjmujemy, że jest to pojęcie dla każdego zrozumiałe.
Linia, która nie jest prostą, ale składa się z prostych części, nazywa się łamaną (rys. 2b); każda zaś linia, która nie jest prostą i nie składa się z części prostych, nazywa się krzywą (rys. 2c).
Do kreślenia na kartce lub na tablicy prostej posługujemy się linijką (lub ekierką), pociągając wzdłuż jej brzegu ołówkiem lub kredą. Cieśla lub stolarz posługuje się w tym celu wyciągniętym sznurkiem, nacierając go węglem lub kredą, które po wstrząśnięciu sznurka pozostawiają na desce ślad linii prostej.
Z linii krzywych największe zastosowanie ma od dawna człowiekowi znana, linia zwana okręgiem. Do praktycznego wykreślenia tej linii służy przyrząd powszechnie znany, a dla geometry niezbędny - cyrkiel.
Cyrkiel i linijka są przyrządami, bez których geometra obejść się nie może, a przy ich pomocy rozwiązuje się w praktyce najróżnorodniejsze zagadnienia geometryczne.
10. Powierzchnie bywają płaskie i krzywe.
Każdy z nas rozumie, co to jest powierzchnia płaska, czyli płaszczyzna. Wyobrażeniem płaszczyzny jest powierzchnia dobrze wygładzonego lustra, powierzchnia wody lub jakiejkolwiek cieczy nalanej do naczynia i pozostawionej w spokoju, powierzchnia gładkiej posadzki itp.
11. Punkt, prosta i płaszczyzna są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne.
12. Wszelkie połączenie punktów, linii i powierzchni nazywamy figurą geometryczną.
Nauka, która bada własności figur, oraz związki, jakie zachodzą między nimi, nazywa się geometrią.
13. Prawdy, które wykrywa i którymi posługuje się nauka geometrii, są ściśle od siebie uzależnione, a dalsze wynikają z poprzednich.
W naszym wykładzie za podstawę obierzemy pewne prawdy, do których dochodzimy przez doświadczenie lub intuicję, które uznajemy za oczywiste i przyjmujemy bez uzasadnienia jako prawdy podstawowe, a z nich wysnuwamy dalsze. Takie prawdy nazywają się pewnikami lub aksjomatami. Niekiedy noszą one nazwę postulatów. Zapoznamy się z nimi w ciągu dalszej nauki.
14. Prawdę, która wynika z pewników, nazywamy twierdzeniem. Rozumowanie, które wykazuje prawdziwość twierdzenia, nazywamy dowodem.
Poznaliśmy w arytmetyce niektóre twierdzenia, np.:
a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 4, to jest podzielna przez 12.
b) Jeżeli suma cyfr danej liczby dzieli się bez reszty przez 9, to i dana liczba dzieli się przez 9.
Najogólniejszą postacią twierdzenia jest:
c) "Jeżeli A, to B".
Twierdzenie składa się z dwóch części: założenia (jeżeli...) i tezy (to...).
Twierdzenie, które powstało z danego przez zamianę założenia z tezą, nazywamy odwrotnym względem danego. Np. można wypowiedzieć następujące twierdzenia odwrotne względem poprzednio podanych:
a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest także podzielna przez 3 i przez 4.
b) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jej suma cyfr dzieli się przez 9.
c) "Jeżeli B, to A".
Nie każde jednak twierdzenie odwrotne jest prawdziwe*. Np. dla twierdzenia: "Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest podzielna także przez 2 i przez 6", twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
15. Prawdę, która wynika bezpośrednio z udowodnionego twierdzenia i nie wymaga odrębnego dowodu, nazywamy wnioskiem.
16. Obok pewników i twierdzeń ważną rolę w nauce geometrii odgrywają określenia (czyli definicje), które służą do wyjaśnienia nowych pojęć, oraz zadania, których rozwiązania polegają na budowaniu, tj. konstrukcji figur na mocy poznanych twierdzeń i pewników.
17. Wyraz "geometria" jest pochodzenia greckiego i oznacza dosłownie "mierzenie ziemi" (geo = ziemia, metro = mierzę), dlatego że pierwotnie takie zadanie miała ta nauka.
18. Uwaga. Geometria narodziła się najprawdopodobniej w Egipcie, a znakomity historyk grecki Herodot z V wieku przed Chrystusem tak tłumaczy powstanie tej umiejętności:
"Król Sezostrys nakazał podział ziemi, przeznaczając dla każdego Egipcjanina po kwadratowym kawałku ziemi, który losowano, obowiązując się płacić pewien czynsz roczny do skarbu królewskiego. W razie wylewu rzeki Nilu posiadacz zalanego gruntu zwracał się do króla, który posyłał mierników dla wymierzenia i sprawdzenia, ile gruntu uprawnego pozostało i o ile należało zmniejszyć opłatę czynszową. Oto, moim zdaniem, jest początek geometrii, która stąd już przeszła do Grecji".
W pierwszych początkach geometria uwzględniała tylko zagadnienia praktyczne i jakkolwiek Egipcjanie doszli w bardzo odległych czasach do wielkiej wprawy i biegłości w ich rozwiązywaniu, to jednak jeszcze nie można twierdzić, żeby oni byli twórcami geometrii rozumowej, czyli nauki geometrii, chociaż pewne uogólnienia teoretyczne nie były im obce.
Najdawniejszy zabytek matematyczny, egipski papirus Rhinda, pochodzący z 2000-1700 roku przed Chrystusem, napisany przez Ahmesa, a stosunkowo niedawno odczytany (1879 r.), dowodzi, że już w owych tak odległych czasach znano sposoby mierzenia powierzchni i objętości niektórych figur.
Zasługa stworzenia teoretycznej geometrii należy się niewątpliwie Grekom.
Najdawniejszą książką polską traktującą o geometrii jest napisana przez Stanisława Grzepskiego, profesora Akademii Krakowskiej „Geometria to jest Miernicka Nauka po polsku krótko napisana z greckich i łacińskich ksiąg. Naydziesz też tu jako naszy miernicy zwykli mierzyć imienie na włoki albo łany. Item iugerum romanum, jako wiele ma w sobie. Item jako wieżę, albo co inszego wysokiego zmierzyć, albo dalekość iaką etc. Teraz nowo wydana, roku 1566 w Krakowie.”
Książka ta ma już dzisiaj tylko wartość historycznego zabytku.
* W języku praktycznie używanym dopuszcza się nazwę "twierdzenie odwrotne" także wtedy, kiedy nie jest ono (jeszcze lub w ogóle) twierdzeniem w znaczeniu wcześniej przyjętym, tj. prawdą wynikającą z aksjomatów (przyp. red.)
19. Każda linia prosta, albo krócej każda prosta, ma pewne własności, które ją odróżniają od innych linii. Poznajemy je z doświadczenia, a niektóre z nich, jak to zaraz zobaczymy, wydadzą się tak oczywiste, że nikomu nawet na myśl nie przyjdzie podawać je w wątpliwość. Wyszczególnimy je tutaj ze względu na to, że będziemy się na nie powoływać. Przede wszystkim zauważmy, że od jednego punktu do jakiegokolwiek drugiego, np. z A do B (rys. 3), może prowadzić wiele dróg, ale prosta jest tylko jedna. Tę własność prostej wyrażamy w postaci następującego pewnika:
Rys. 3
Przez dwa punkty można zawsze poprowadzić prostą, i to tylko jedną. Inaczej ten pewnik można wyrazić, mówiąc: dwa punkty wyznaczają jednoznacznie prostą.
Na rysunku prostą oznaczamy zwykle dwiema literami oznaczającymi punkty, przez które ona przechodzi. Piszemy np. prosta AB.
20. Na prostej możemy zawsze obrać dowolne dwa punkty, a jakkolwiek daleko od siebie je obierzemy, zawsze możemy znaleźć dalsze, poza nimi jeszcze dalsze itd., a zatem zawsze możemy prostą przedłużać dowolnie. Toteż kiedy mówimy o prostej, rozumiemy, że prosta jest linią nieograniczoną.
21. Na prostej AB (rys. 4) obierzmy jakikolwiek punkt O. Zawsze na tej prostej można obrać takie dwa punkty, np. C i D, że aby
Rys. 4
przejść od C do D (lub od D do C), musimy przejść przez punkt O. Widzimy więc, że punkt O dzieli prostą AB na dwie części: na jednej z tych części leży punkt C, na drugiej punkt D.
Tę własność linii prostej wyrażamy pewnikiem:
Każdy punkt położony na prostej dzieli ją na dwie części.
Każda z tych części zawierać będzie, zgodnie z poprzednią własnością prostej, nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą lub promieniem. W omawianym przypadku są to półproste OA i OB. Punkt O nazywamy początkiem półprostej.
O dwóch punktach prostej będziemy mówili, że leżą z jednej strony punktu O albo po przeciwnych jego stronach, zależnie od tego, czy obydwa leżą na tej samej półprostej, czy też jeden punkt leży na jednej, a drugi na drugiej półprostej.
22. Z przytoczonych wyżej własności prostej wnioskujemy, że jeżeli dwie proste mają dwa punkty wspólne, to wszystkie ich punkty są wspólne, tj. będą do siebie przystawały, tj. będą tworzyły jedną prostą. A zatem dwie proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny.
Mówimy wówczas, że dane proste przecinają się ze sobą. Nasze rozważania można więc ująć w następujący
Wniosek. Dwie proste mogą się przecinać ze sobą tylko w jednym punkcie.
23. Jak wiemy, jeden punkt nie wyznacza prostej i mając jakiś punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić dowolną ilość prostych, które tworzą tak zwany pęk prostych (rys. 5). Punkt, przez który przechodzą wszystkie proste, nazywa się początkiem lub wierzchołkiem pęku.
Rys. 5
24. Niech będzie dana prosta KL (rys. 6) i dwa punkty na niej: A i B. Część AB danej prostej, ograniczoną dwoma punktami nazywamy odcinkiem prostej lub po prostu: odcinkiem.
Dwie pozostałe części prostej: AK i BL nazywamy przedłużeniami odcinka AB.
Rys. 6
Odcinek oznaczamy dwiema literami, które wskazują punkty ograniczające go, czyli jego punkty końcowe lub końce, pisząc np. odcinek AB. Możemy użyć małej litery, pisząc np. odcinek a.
O odcinku mówimy, że łączy dwa dane punkty. Odcinkiem wyznacza się odległość dwóch danych punktów.
Punkty, położone na odcinku AB nazywamy wewnętrznymi, położone zaś na jego przedłużeniu - zewnętrznymi.
25. Punkty danego odcinka AB możemy uważać za następujące po sobie począwszy od A i kończąc na B, albo też odwrotnie - od B do A. Możemy więc mówić o dwóch zwrotach odcinka, niekiedy nawet wyraźnie je rozróżniamy. Jeżeli jednak zwrot odcinka nie jest nam potrzebny, mamy zaś na myśli tylko odległość jego końcowych punktów, to powiadamy, że odcinek AB jest równy odcinkowi BA i piszemy
AB = BA.
W praktyce o równości odcinków przekonujemy się, mierząc cyrklem dany odcinek.
Rys. 7
26. Niech będzie dany odcinek a, prosta KL i leżący na niej pewien punkt O (rys. 7). Rozważając każdą z otrzymanych półprostych z osobna, na przykład OL, zauważamy, że spośród nieograniczonej liczby jej punktów znajdziemy jeden taki, którego odległość od O będzie równa a (to samo powiemy o półprostej OK).
Tę własność prostej uważamy za pewnik, mówiąc:
Z każdej strony punktu O danego na prostej można zawsze znaleźć taki punkt A, i to tylko jeden, że odcinek OA równa się danemu odcinkowi.
W praktyce robimy to w ten sposób, że wziąwszy w cyrkiel odcinek a, odkładamy go na prostej KL od punktu O i otrzymujemy z każdej strony tego punktu odcinki OA i OA' równe odcinkowi a. W ten sposób przenosimy dany odcinek na prostą, rozumiejąc, że w istocie to przenoszenie jest równoznaczne ze znalezieniem odcinka równego danemu.
27. Odcinki mogą być równe i nierówne.
O istnieniu* odcinków równych lub nierównych przekonujemy się z łatwego doświadczenia, zestawiając ze sobą dwa wyprostowane pręciki metalowe: jeżeli obydwa ich końce do siebie przystają, powiadamy, że te pręty są równe, w przeciwnym razie - są nierówne.
Rys. 8
Jeżeli mamy dane dwa odcinki: AB i A'B' (rys. 8), to dla porównania ich ze sobą, przenosimy odcinek A'B' na AB w taki sposób, aby punkt A' pokrył się z punktem A, a wtedy:
albo 1) drugi koniec odcinka A'B', tj. punkt B', będzie punktem wewnętrznym odcinka AB i wówczas mówimy, że pierwszy odcinek jest większy od drugiego:
AB > A'B';
albo 2) punkt B' pokryje się z B, i wtedy mówimy, że odcinki do siebie przystają, lub inaczej, że są sobie równe:
AB = A'B';
albo 3) punkt B' znajdzie się na przedłużeniu odcinka AB, wtedy mówimy, że pierwszy jest mniejszy od drugiego:
AB < A'B'.
28. Jeżeli na danej prostej obierzemy trzy punkty: A, B i C (rys. 9) takie, że odcinek BC leży na przedłużeniu AB i ma z nim jeden wspólny punkt B, to odcinki te nazywać będziemy kolejnymi.
Rys. 9
Odcinek AC nazywa się wtedy sumą odcinków AB i BC, co wyrażamy pisząc
AC = ...
Sylah73