Jarnicki M - Wykłady z Analizy Matematycznej.pdf - _ Matematyka. Analiza - siomak

UniwersytetJagiello«ski

WydziałMatematykiiInformatyki

InstytutMatematyki

Wykłady

zAnalizyMatematycznej

MarekJarnicki

(Wersjaz7lutego2009)

Słowowst¦pne

Proponowany tekst to nieco rozbudowane notatki do wykładów z Analizy Matematycznej, jakie od

wielu lat prowadziłem dla studentów Matematyki Uniwersytetu Jagiello«skiego. Chciałbym to wyra¹nie

podkre±li¢: notatki do wykładu. Z jednej strony, w notatkach tych, jak łatwo wida¢, brakuje wielu ele-

mentów charakterystycznych dla podr¦cznika, jak np. rysunki i ¢wiczenia. Z drugiej strony, tekst jest

zaopatrzony w rozbudowane indeksy oznacze«, autorów i najwa»niejszych poj¦¢. Jest równie», cho¢ nie-

wiele, klasycznych ¢wicze«, które s¡ rozrzucone w tek±cie w pobli»u miejsc, których dotycz¡. Zamiast

klasycznych ¢wicze« Czytelnik znajdzie wiele miejsc oznaczonychwiczenie, w których prosz¦ o samo-

dzielne rozwi¡zanie, czy te» uzupełnienie omawianego zagadnienia. Czytelnik nie powinien lekcewa»y¢

tych sugestii.

Na przestrzeni lat wykład przechodził (i nadal przechodzi) wiele zmian i uzupełnie«. Nie byłyby

one mo»liwe, gdyby nie »yczliwa krytyka moich Kolegów (zwłaszcza tych, którzy prowadzili ¢wiczenia

do wykładu) oraz Studentów. Chciałbym im wszystkim zło»y¢ w tym miejscu moje najserdeczniejsze

podzi¦kowania. Wykład jest i b¦dzie stale poprawiany i uzupełniany.

Za dobór, kolejno±¢ i sposób przedstawienia materiału ponosz¦ oczywi±cie pełn¡ odpowiedzialno±¢.

Dobór ten jest bardzo subiektywny i dostosowany z jednej strony do struktury studiów w naszym In-

stytucie, a z drugiej, do mojego rozumienia tego, czym jest Analiza Matematyczna i jak powinna by¢

wykładana. Przygotowuj¡c wykład korzystałem z wielu podr¦czników i monograﬁi. Spis najwa»niejszych

z nich jest umieszczony na ko«cu. Wiele twierdze« umieszczonych w wykładzie jest podanych w celowo

(zbyt) ogólnym kontek±cie. Ma to, moim zdanie, umo»liwi¢ Czytelnikowi łatwiejsze uchwycenie tego, co

w tych wynikach jest istotne.

Zdaj¦ sobie w pełni spraw¦ z tego, i» nie udało mi si¦ unikn¡¢ bł¦dów i usterek. Bardzo prosz¦,

zarówno o wyrozumiało±¢ dla autora, jak i o krytyczne informacje o zauwa»onych niedoci¡gni¦ciach,

najlepiej na adres Marek.Jarnicki@im.uj.edu.pl.

Pierwsze dwa podrozdziały b¦d¡ po±wi¦cone przypomnieniu podstawowych poj¦¢ dotycz¡cych prze-

strzeni topologicznych i metrycznych. Nie b¦dzie to systematyczny wykład, ale raczej spis najwa»niejszych

deﬁnicji, oznacze« i twierdze«. Wszystkie cytowane wyniki mo»na znale¹¢ np. w monograﬁi [Eng 1968].

Odnotujmy, »e prawie cały dalszy wykład mo»na ograniczy¢ do przestrzeni unormowanych (czy te» nawet

przestrzeni Banacha). Z tego punktu widzenia nie ma potrzeby specjalnego koncentrowania si¦ na ogól-

nych przestrzeniach metrycznych, czy te» topologicznych. Z drugiej jednak strony Czytelnik powinien

wyrabia¢ sobie od samego pocz¡tku umiej¦tno±¢ dostrzegania istotnych elementów poznawanych twier-

dze«, np. istotnych zało»e«. W szczególno±ci, powinien rozró»nia¢ własno±ci topologiczne, metryczne,

własno±ci typowe dla przestrzeni unormowanych, czy te» wreszcie własno±ci typowe dla R n .

Marek Jarnicki

Kraków, 7 lutego 2009

iii

Jarnicki M - Wykłady z Analizy Matematycznej.pdf