Tadeusz Batóg, Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1994, s. 11-20.
PODSTAWY RACHUNKU ZDAŃ
§ 1. SPÓJNIKI MIĘDZYZDANIOWE
Zdaniami w sensie logicznym nazywamy te spośród zdań oznajmujących (w sensie gramatycznym), które posiadają treść na tyle określoną, że są prawdziwe bądź fałszywe. W dalszym ciągu mówić będziemy tylko o zdaniach w sensie logicznym, toteż będziemy je dla krótkości nazywać po prostu zdaniami.
Określenie powyższe posiada wstępny charakter i nie jest precyzyjne. Jego zadaniem jest jedynie pobudzenie pewnych intuicji wiążących się z pojęciem zdania. Ścisłą definicję tego pojęcia podamy później.
Te oto dwie własności zdań: prawdziwość i fałszywość (lub też prawdę i fałsz, jak zwykło się mówić krótko) nazywać będziemy wartościami logicznymi. Nie będziemy tu na razie mówili, na czym polega prawdziwość czy też fałszywość zdań. Intuicyjne rozumienie tych własności, znane z potocznego języka, wystarczy tutaj całkowicie. Jedyną bowiem rzeczą ważną dla sporej części dalszych rozważań będzie to, że prawdziwość jest czym innym niż fałszywość.
Wartości logiczne wygodnie jest oznaczać jakimiś krótkimi symbolami. Z tego względu prawdziwość oznaczać będziemy symbolem l, zaś fałszywość symbolem 0. Przy tych oznaczeniach zbiorem wartości logicznych jest zbiór {0, l}. Powiedzenie, że jakieś zdanie posiada wartość logiczną l, będzie więc znaczyło po prostu, że zdanie to jest prawdziwe. Powiedzenie zaś, że zdanie ma wartość 0, będzie znaczyło tylko tyle, że zdanie to jest fałszywe.
Mając jakiekolwiek dwa zdania możemy utworzyć nowe zdanie, dłuższe, bardziej złożone przez połączenie owych zdań jakimś spójnikiem międzyzdaniowym, np. słowem „oraz” albo słowem „lub”. Spójnikami międzyzdaniowymi nazywamy bowiem właśnie takie słowa czy też zwroty wielowyrazowe, które służą do tworzenia zdań złożonych poprzez odpowiednie łączenie zdań prostszych. W zdaniu złożonym, zbudowanym z prostszych zdań [11/12] przez połączenie ich jakimś spójnikiem, owe prostsze zdania noszą nazwę argumentów danego spójnika. Niektóre spójniki są szczególnie często używane w języku naukowym, toteż zajmiemy się nimi bliżej.
Przyjmujemy, że spójniki międzyzdaniowe: „i”, „oraz”, „ale”, „lecz”, „a”, „natomiast” są równoznaczne pomiędzy sobą. (Co prawda ostatnie cztery spośród nich mogą być używane zamiast „i” względnie „oraz” tylko w niektórych kontekstach, ale decydują o tym jedynie względy stylistyczne a nie rzeczowe). Wszystkie te spójniki będziemy zapisywali za pomocą jednego krótkiego symbolu Ù. Symbol ten odczytuje się z reguły jako „i” względnie „oraz”. Będziemy go nazywali znakiem koniunkcji. Każde zdanie o budowie p Ù q (czyli: p oraz q), gdzie p, q są jakimikolwiek konkretnymi zdaniami, nazywamy koniunkcją. Zdania p, q wchodzące w skład takiej koniunkcji nazywamy jej czynnikami.
Przyjmujemy, że spójniki: „lub”, „bądź” („bądź... bądź”) są również równoznaczne pomiędzy sobą. Zapisujemy je za pomocą jednego symbolu v, odczytywanego zwykle jako „lub”. Symbol ten nazywamy znakiem alternatywy. Każde zdanie o budowie p Ú q (czyli: p lub q), gdzie p, q są jakimikolwiek zdaniami, nazywamy alternatywą. (W zagranicznej literaturze logicznej alternatywę nazywa się najczęściej dysjunkcją). Zdania p, q wchodzące w skład takiej alternatywy nazywamy jej składnikami.
Dwuwyrazowy spójnik „jeżeli..., to” („jeśli..., to”) będziemy zapisywać za pomocą symbolu →, zwanego znakiem implikacji. Każde zdanie o budowie p → q (czyli: jeżeli p to q) gdzie p, q są jakimikolwiek zdaniami, nazywamy implikacją. Zdanie p jest poprzednikiem, a zdanie q następnikiem takiej implikacji.
Przyjmujemy, że wszystkie cztery poniższe wielowyrazowe spójniki międzyzdaniowe są całkowicie równoznaczne między sobą:
wtedy i tylko wtedy, gdy; pod tym i tylko pod tym warunkiem, że;
jeśli i tylko jeśli; zawsze i tylko wtedy, gdy.
Wszystkie te spójniki zapisujemy za pomocą jednego krótkiego symbolu ≡, zwanego znakiem równoważności. Każde zdanie o postaci p ≡ q nazywamy równoważnością. Zdania p, q występujące w takiej równoważności nazywamy - odpowiednio - jej lewą i prawą stroną (albo jej lewym i prawym członem).
Zwrot „nieprawda, że” nie jest, oczywiście, spójnikiem w sensie gramatycznym. Ponieważ jednak będzie on w dalszym ciągu naszych rozważań odgrywał rolę podobną jak wymienione wyżej spójniki, więc będziemy go również umownie nazywali spójnikiem międzyzdaniowym. Zwrot ten zapisywać będziemy za pomocą symbolu ~, zwanego znakiem negacji. Każde zdanie o postaci ~p nazywać będziemy negacją. Zauważmy jeszcze, że znak ~ można też odczytywać jako „nie jest tak, że”, względnie - gdy nie wywoła to nieporozumienia - jako po prostu „nie”.[12/13]
Podana niżej tabela l charakteryzuje bliżej sens znaku negacji, a zarazem odpowiadającego mu zwrotu „nieprawda, że”. Tabelę tę należy rozumieć w następujący sposób: gdy jakieś zdanie p jest prawdziwe (czyli ma wartość logiczną 1), to jego negacja, tzn. zdanie ~p jest fałszywe (czyli ma wartość logiczną 0); gdy natomiast zdanie p jest fałszywe, to zdanie ~p jest prawdziwe, W podobny sposób tabela 2 charakteryzuje pozostałe spójniki międzyzdaniowe. Jej kolumna pierwsza z prawej strony podwójnej kreski pionowej informuje, że koniunkcją jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki tej koniunkcji są prawdziwe; we wszystkich innych przypadkach koniunkcją jest zdaniem fałszywym.
Tabela 1 Tabela 2
p
~p
q
p Ù q
p Ú q
p → q
p ≡ q
1
0
Zgodnie z następną kolumną tej tabeli alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej składniki są fałszywe; we wszystkich innych przypadkach alternatywa jest zdaniem prawdziwym. Z kolei implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy; we wszystkich innych przypadkach implikacja jest zdaniem prawdziwym. Wreszcie równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony posiadają dokładnie tę samą wartość logiczną; jeśli natomiast jedna strona równoważności ma inną wartość logiczną niż druga, to równoważność jest zdaniem fałszywym.
§ 2. SCHEMATY FORMALNE ZDAŃ
Liter p, q, r, s, t będziemy używali jako tzw. zmiennych zdaniowych, tzn. zmiennych reprezentujących dowolne zdania. Pierwsze dwie spośród nich były już zresztą używane w takim charakterze w poprzednim paragrafie. Jeżeli w jakimś danym zdaniu zastąpimy wszystkie spójniki międzyzdaniowe ich symbolicznymi odpowiednikami, zaś argumenty tych spójników - zmiennymi zdaniowymi tak, aby na miejscu takich samych zdań znalazły się takie same zmienne, a na miejscu różnych zdań - różne zmienne, to otrzymamy tzw. formalny schemat owego zdania. Oczywiście, schematem formalnym zdania prostego (nie zawierającego żadnych spójników międzyzdaniowych) będzie po prostu dowolna pojedyncza zmienna zdaniowa. Chcąc zapewnić składniową jednoznaczność schematów formalnych, trzeba najczęściej używać w nich odpowiednio rozmieszczonych nawiasów. Na przykład dla zdania: [13/14]
(1) Jeżeli 7 dzieli się przez 6, to 7 dzieli się przez 2 oraz 7 dzieli się przez 3,
schematem formalnym jest wyrażenie:
(2) p → (q Ù r).
Natomiast dla zdania:
(3) A. Mickiewicz był Polakiem lub nieprawda, że A. Mickiewicz był Polakiem,
(4) p Ú ~p.
Bez trudu można zbudować zdania, dla których schematami formalnymi są np. następujące wyrażenia:
(p Ù q) → (p Ú r), [(p Ù q) Ú r] → p,
[(p → q) Ù ~q] → ~p, (p Ù q) Ú (r → p).
Wyrażenia tego rodzaju, będące schematami jakichś zdań, nazywają się formułami języka rachunku zdań. Wyrażenia zbudowane ze zmiennych zdaniowych, spójników i nawiasów, ale nie będące schematami żadnych zdań (jak np.: ~ → p Ú), nie są formułami, lecz wyrażeniami bezsensownymi.
Łatwo się przekonać, że przytoczone powyżej zdanie (1) jest prawdziwe; jest to bowiem implikacja o fałszywym poprzedniku i fałszywym następniku (por. tab. 2). Można zatem powiedzieć, że formuła (2) jest schematem pewnego zdania prawdziwego albo, że pod schemat (2) podpada pewne zdanie prawdziwe. Bez trudu jednak można zbudować i takie zdanie, które także będzie podpadać pod schemat (2), a które będzie fałszywe. Wystarczy w tym celu wstawić do (2) za p jakiekolwiek zdanie prawdziwe, za q jakiekolwiek fałszywe a za r zdanie całkiem dowolne; uzyskane w ten sposób zdanie złożone będzie na pewno fałszywe. Można więc stwierdzić ostatecznie, że (2) jest schematem i pewnych prawdziwych zdań, i pewnych fałszywych.
Zupełnie inaczej ma się rzecz ze schematem (4): jest to schemat tylko prawdziwych zdań. Zdanie (3), podpadające pod ten schemat, jest na pewno prawdziwe. Jest to w istocie prawda banalna, z której niczego właściwie nie można się o Mickiewiczu dowiedzieć, ale przecież nie jest to fałsz. Podobnie wszystkie inne zdania, podpadające pod schemat (4), są takimi banalnymi prawdami głoszącymi, że jest tak a tak lub nieprawda, że jest tak a tak. Ale prawda banalna to też prawda. Zatem wszystkie zdania, dla których schematem formalnym jest (4), są prawdziwe. [14/15]
Wszystkie te i tylko te formuły języka rachunku zdań, które są schematami wyłącznie zdań prawdziwych, nazywamy tautologiami rachunku zdań lub też prawami logicznymi z zakresu rachunku zdań.
Doniosłość tautologii czyli praw logicznych polega na tym, że pozwalają one przekonać się o prawdziwości bardzo wielu zdań na podstawie samego kształtu (schematu) tych zdań. Jeśli bowiem schemat jakiegoś zdania jest tautologią, to prawdziwość takiego zdania mamy zagwarantowaną bez potrzeby odwoływania się do doświadczenia lub innego typu dowodów.
Niezwykle ważna jest przy tym ta okoliczność, że istnieje prosta metoda, tzw. metoda sprawdzeń zerowo-jedynkowych, pozwalająca o każdej formule języka rachunku zdań rozstrzygnąć w skończonej liczbie kroków, czy formuła ta jest tautologią czy też nie. Metoda ta polega na wykorzystaniu faktu, iż każde zdanie ma jedną z dwu wartości logicznych l lub 0, oraz na przeprowadzaniu pewnych rachunków zgodnych z tabelami l i 2, charakteryzującymi sens poszczególnych spójników. Objaśnimy ją na przykładzie. Przypuśćmy, że chcemy rozstrzygnąć, czy jest tautologią następująca formuła:
(5) [(~ p) Ú ( ~ q)] ≡ (p → ~ q).
Możemy rozumować tak: Każde zdanie podpadające pod ten schemat powstaje z niego przez zastąpienie zmiennych zdaniowych p oraz q jakimiś konkretnymi zdaniami, które mogą być prawdziwe bądź fałszywe. Istnieją zatem cztery możliwości: 1) albo bierze się za p zdanie prawdziwe i za q zdanie prawdziwe, 2) albo bierze się za p zdanie prawdziwe a za q fałszywe, 3) albo bierze się za p zdanie fałszywe a za q prawdziwe, 4) albo bierze się za p zdanie fałszywe i za q zdanie fałszywe. Możliwości te zestawione są w tabeli 3. Wystarczy teraz obliczyć, jaką wartość będzie miało zdanie złożone o schemacie (5) przy każdej z powyższych czterech możliwości.
Tabela 3 ...
blackwelltj