Funkcja.pdf

(191 KB) Pobierz
Microsoft Word - Funkcja.doc
Funkcja
1. Definicja funkcji.
Załóżmy, że mamy dwa niepuste zbiory X i Y (X,Y ≠∅ ), można sformułować dwie
równoważne definicje funkcji:
i) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden
element ze zbioru Y i każdemu elementowi ze zbioru Y przynajmniej jeden
element ze zbioru X , to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X
na zbiór Y .
ii) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden
element ze zbioru Y , to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X
w zbiór Y .
Funkcję najczęściej zapisujemy: f: X → Y lub y= f(x) , gdzie x ∈ X, y ∈ Y
Zbiór X tych elementów, dla których funkcja jest określona nazywa się zbiorem
argumentów funkcji lub dziedziną funkcji.
Powyższe pojęcia wprowadzone są intuicyjnie. Ścisła definicja funkcji sformułowana
jest za pomocą pojęć teorii mnogości:
Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja ρ ⊂ XxY spełnia warunek: dla
każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y ∈ Y , taki że x ρ y, to relację tę
nazywamy funkcją.
2. Monotoniczność funkcji.
Funkcję nazywamy:
i) rosnącą (ściśle rosnącą), jeżeli:
x,y ∈ X
ii) malejącą (ściśle malejącą), jeżeli:
x,y ∈ X
iii) niemalejącą, jeżeli:
∧ x<y ⇒ f(x) ≤ f(y)
x,y ∈ X
iv) nierosnącą, jeżeli:
∧ x<y ⇒ f(x) ≥ f(y)
x,y ∈ X
MB
∧ x<y ⇒ f(x)< f(y)
∧ x<y ⇒ f(x)> f(y)
v) stałą, jeżeli:
∧ x<y ⇒ f(x) = f(y)
x,y ∈ X
3. Parzystość i nieparzystość funkcji.
Funkcję nazywamy:
i) parzystą, jeżeli:
∧ f(x) = f(-x) (własność – wykres symetryczny względem osi OY)
x,-x ∈ X
Oczywiście w obu powyższych definicjach zakłada się, że zbiór X jest symetryczny
względem 0, tzn. ∧ -x ∈ X .
x ∈ X
4. Funkcja różnowartościowa.
Funkcję nazywamy różnowartościową, jeżeli:
∧ x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)
x,y ∈ X
5. Funkcja odwrotna.
Jeśli funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa (czyli jest
bijekcją) to funkcję x= f –1 (y) , gdzie f –1 :Y → X, nazywamy funkcją odwrotną do
funkcji y= f(x) .
Jeśli funkcja g jest funkcją odwrotną do f to zachodzi równość: g(f(x))=x .
Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny względem prostej y=x .
6. Funkcja złożona (superpozycja funkcji).
Jeśli dane są dwie funkcje f: X → Y i g: Y → Z to dla każdego elementu x ∈ X istnieje
dokładnie jeden taki element z ∈ Z , że z=g(f(x)) . Funkcje f i g wyznaczają nową
funkcję h: X → Z określoną h(x) : g ° f =g(f(x)) .
Funkcję h nazywamy funkcją złożoną z funkcji f i g . Funkcję f nazywamy funkcją
wewnętrzną funkcji złożonej, a funkcję g funkcją zewnętrzną funkcji złożonej.
2
MB
x,-x ∈ X
ii) nieparzystą, jeżeli:
∧ - f(x) = f(-x) (własność – wykres symetryczny względem początku układu)
7. Granica funkcji w punkcie:
Funkcja f: A → R, określona na zbiorze A ⊂ R, ma w punkcie x 0 granicę równą g, co
zapisuje się : f(x) → g, przy x → x 0 lub lim X → Xo f(x)=g, gdy spełnione są warunki
określone w dwu równoważnych definicjach:
i) definicja Heinego : dla każdego ciągu (x n ) takiego, że x n ∈ A , x n ≠ x 0 i x n → x 0
przy n → ∞ ciąg wartości fun kcji f(x n ) dąży do g przy n → ∞ .
ii) definicja Cauchy’ego: dla każdej liczby ε >0 istnieje liczba δ >0 taka, że dla
każdego x ∈ A z nierówności 0<|x-x 0 |< δ wynika nierówność |f(x)-g|< ε .
Podstawowe własności granicy funkcji w punkcie:
jeśli funkcje f i g określone na zbiorze A ⊂ R mają granice właściwe lim X → Xo f(x)=g i
lim X → Xo h(x)=p to :
i) lim X → Xo (f(x) ± h(x))=g+p
ii) lim X → Xo (f(x) ⋅ h(x))=g ⋅ p
iii) lim X → Xo
f
()
()
x
= p
g
h
x
8. Wykresy wybranych funkcji:
i) trygonometrycznych:
1
1
1 2
f
H
x
L
= sinx
1 2
f
H
x
L
= cos x
− 2 π
− 3 2 π
−π − π 2
π 2
π
3 2 π
2 π
− 2 π
− 3 2 π
−π − π 2
π 2
π
3 2 π
2 π
− 1 2
− 1 2
− 1
− 1
f
H
x
=tg x
f
H
x
=ctg x
è!!!
3
1
è!!!
3
−π − π 2
− 1
π 2
π
−π − π 2
− 1
π 2
π
−
−
3
MB
L
L
1
è!!!
è!!!
90285034.044.png 90285034.045.png 90285034.046.png 90285034.047.png 90285034.001.png 90285034.002.png 90285034.003.png 90285034.004.png 90285034.005.png 90285034.006.png 90285034.007.png 90285034.008.png 90285034.009.png 90285034.010.png 90285034.011.png 90285034.012.png 90285034.013.png 90285034.014.png
 
ii) wykładniczej:
f
H
x
L
= a x dla a e
H
0,1
L
f
H
x
L
= a x dla a e
H
1,
L
1
1
− 4 − 3 − 2 − 1
1 2 3 4
− 4 − 3 − 2 − 1
1 2 3 4
f
H
x
L
= a x dla a = 1
1
− 4 − 3 − 2 − 1
1 2 3 4
iii) logarytmicznej:
1
f
H
x
L
= log a xdlaa e
H
0,1
L
1
2
3
4
1
f
x
L
= log a xdlaa e
H
1,
L
1
2
3
4
iv) cyklometrycznych:
π 2
f
x
L
= arcsinx
π
π 2
f
x
L
=arccos x
− 1
− 1 2
1 2
1
− π 2
− 1
− 1 2
1 2
1
4
MB
H
H
H
90285034.015.png 90285034.016.png 90285034.017.png 90285034.018.png 90285034.019.png 90285034.020.png 90285034.021.png 90285034.022.png 90285034.023.png 90285034.024.png 90285034.025.png 90285034.026.png 90285034.027.png 90285034.028.png 90285034.029.png 90285034.030.png 90285034.031.png 90285034.032.png 90285034.033.png 90285034.034.png 90285034.035.png 90285034.036.png 90285034.037.png 90285034.038.png 90285034.039.png 90285034.040.png
π 2
π
f
H
x
= arctg x
− 1 1
π 2
f
x
L
= arcctg x
− π 2
− 1 1
5
MB
L
H
90285034.041.png 90285034.042.png 90285034.043.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin