współczynnik korelacji liniowej pearsona itp..doc

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA

WŁASNOŚCI

1)   rxy=rxy

2)   rxy Î<-1,1>

3)   Wartość bezwzględna z rxy informuje o sile związku liniowego między cechą X,Y

-     korelacja niewyraźna  ½rxy½

-     korelacja średnia ½rxy½Î(0,3;0,5>

-     korelacja wyraźna ½rxy½>0,5

Zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną ½rxy½=1

Brak związku korelacyjnego liniowego ½rxy½=0

½rxy½£eyx

Miara  krzywoliniowości

mxy=e2xy  - r2xy

myx=e2yx – r2yx

mÎ<0,1> -

m £ 0,2 – zależność korelacyjna uznajemy za prostoliniową

m > 0,2 – krzywoliniowość zależności jest stochastycznie istotna

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA

Zastosowanie:

-     do badania zależności cech jakościowych

-     do badania cech ilościowych dla małej próby

n>1

di – różnica pomiędzy rangami odpowiadających sobie wartości cechy X i cechy Y

Własności:

1)         rsÎ<-1,1>

2)         interpretacja – tak jak rxy

FUNKCJA REGRESJI

Funkcja regresji I rodzaju     y=f0(x)+x

f0 – funkcja regresji I rodzaju

x - składnik losowy

EMPIRYCZNE LINIE REGRESJI

Empiryczne linia regresji zmiennej X względem zmiennej Y łamana o wierzchołkach

Empiryczna linia regresji zmiennej Y względem zmiennej X łamana o wierzchołkach

FUNKCJA REGRESJI II RODZAJU:  y=f(x)+u

y=f(x) ;

f(x) – funkcja regresji II rodzaju

u – składnik resztowy

Warunki dla funkcji regresji II rodzaju:

1)         odchylenie wartości empirycznych (yi) od wartości teretycznych () są losowe

2)         suma kwadratów odchyleń wartości teretycznych od empirycznych jest najmniejsza

REGRESJA LINIOWA II RODZAJU

Założenie:

f jest funkcją liniową. Funkcja regresji zmiennej Y względem zmiennej X.

yi=a1xi +V0+Ui           i=1,……K

a0,a1 – parametry strukturalne

½x½(a0,ai)=

a1=rxy

a0=

Błąd estymatora

MIARY DOKŁADNOŚCI OSZACOWANEJ FUNKCJI REGRESJI II RZĘDU

1)         Wariancja składnika resztowego

S2u=

K – liczba szacowanych parametrów

Su – określają przeciętne odchylenia wartości empirycznych od wartości teoretycznych

2)         Współczynnik zbieżności j2

j2= j2Î<0,1>

3)         Współczynnik determinacji R2

R2=       R2Î<0,1>

- wartość teoretyczna

1=j2+R2

Uwaga !

Dla liniowej funkcji regresji  R2=r2yx

Interpretacje:

j2 – jaka część zmienności zmiennej Y nie została wyjaśniona przez model

y=a1xi+a0

R2 – jaka część zmienności zmiennej Y została wyjaśniona przez model

y=a1x+a0

Funkcja regresji zmiennej X względem zmiennej Y

xj=b1yj+b0+zj      j=1,……

b0, b1 – parametry strukturalne modelu

zj=xj-       ,  =b1y1 – b0

Współczynnik zbieżności y2

,  j2Î<0,1>

Współczynnik determinacji R2xy

,  R2Î<0,1>

Uwaga!

Dla liniowej funkcji regresji

R2xy – r2xy

Korelacja i regresja wielu zmiennych

(x1,x2,………,xi)®Y

-     korelacja wieloraka

(x2,x3,……xK)®Y         Y=x1

R1,2,3……K=Rw

-     korelacja cząstkowa xi®xj

rij.K,L……z

Oznaczenia:

Y=xi

P=[rij]   i=1,……K;  j=1,……K

RwÎ<0,1>

Rw=0Þbrak korelacji

Rw=1Þkorelacja doskonała

R2w- współczynnik determinacji

REGRESJA WIELORAKA

Y=a0+a1x1+……aKxK+e (regresja I rodzaju)

Y=a0+a1x1+……aKxK+u (regresja II rodzaju)

X=

a=  a=(xTx)-1xTy

Macierz wariancji i kowariancji estymatora B

                S2(a)=S2u(xTx)-1

Estymator wariancji składnika losowego

S2u=

Współczynnik zbieżności

j2=

R2w=1-j2

Analiza dynamiki

Szereg dynamiczny

Yt=f(t,d);  yt=f(t,w,e)

{yt}  ytÎR

Miary dynamiki