zmniejszanie_liczby_o_dany_procent.pdf

Pomniejszanie liczby o zadany procent

Przedmowa

Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozu-

mieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych

które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na

chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.

Pełną wersję tego opracowania znajdziesz w tym pliku:

http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf

Spis tematów

1. Obniżki procentowe ...................................................................................................................................................... 2

— pomniejszanie liczby o zadany procent ................................................................................................................. 2

— wyliczanie liczby która pomniejszona o zadany procent da ustaloną liczbę ......................................................... 4

— wyliczanie o ile procent trzeba pomniejszyć jedną liczbę by dostać drugą .......................................................... 5

— pomniejszanie liczby w pamięci o zadany procent ............................................................................................... 7

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 1

Jak oblicza ć procenty w pami ę ci? Jak pomniejsza si ę liczb ę o zadany procent? Jak wylicza si ę liczb ę która pomniejszona o zadany procent da ustalon ą liczb ę ? Wyliczanie o ile procent trzeba pomniejszy ć jedn ą liczb ę by dosta ć drug ą . S ą tu rozwi ą zane zadania i ć wiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie. Zakres szkoły podstawowej i gimnazjum.

Temat: Obniżki procentowe.

Pomniejszanie liczby o zadany procent

Załóżmy, że chcesz liczbę 20 pomniejszyć o 40% tej liczby. By mieć dobry podgląd na to co będziesz robić, zrób sobie

wykres warstwowy. Narysuj słupek. Nad nim napisz liczbę którą znasz z treści zadania. Podziel ten słupek na 10 „ce-

giełek” po 10% (razem zawsze musi być 100%). Zauważ, że 4 takie „cegiełki” będą dawać 40%.

Z drugiej strony słupka wylicz wysokość każdej „cegiełki”. Zobacz, że cały słupek składa się z 10 cegiełek, więc wyso-

kość jednej cegiełki jest równa 2.

Sposób 1

Sposób 2

Sposób 3

Sposób 4

Obliczasz ile wynosi 40% z liczby 20.

Zapisujesz sposób 1 w postaci jednego

działania:

Z powyższego wykresu warstwowego

odczytujesz, że po zabraniu 40% z liczby

20, pozostanie 60% z liczby 20 . Zatem

obliczasz tylko takie działanie:

Zauważasz to samo co w sposobie 3,

ale do wyliczenia szukanej liczby naj-

pierw wypisujesz dane z zadania:

40%

z liczby

20 =0,4⋅20= 8

20 − 40%

z liczby

= 20 − 8 = 12

Na powyższym wykresie warstwowym są to 4 górne cegiełki.

Od liczby 20 odejmujesz powyższy wynik.

100%— 20

60% —

Układasz proporcję:

100%

60%

z liczby

20 =0,6⋅20= 12

20 − 8 = 12

Na powyższym wykresie warstwowym jest to 6 dolnych cegiełek.

które od razu daje Ci wynik końcowy.

60% = 20

Skracasz symbole % oraz liczbę 100

z liczbą 60 (przez 20).

3 = 20

Mnożysz po skosie.

5 =60 /: 5

=12

Zatem pomniejszając liczbę 20 o 40% tej liczby

dostaniesz liczbę 12.

łó

ąć

Uwaga. Gdyby w powyższym zdaniu zostały pominięte słowa „tej liczby”, to wypowiedziane zdanie oznaczałoby,

że liczbę 20 pomniejszasz o ułamek

co w rezultacie dałoby wynik 19

czyli 19,6.

Zapamiętaj

Pomniejszając liczbę o zadany procent (sposobem 1, 2, 3), zawsze trzeba dopisać z jakiej liczby jest ten procent

wyliczany.

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 2

poprawnie

(dotyczy sposobu 2)

błędnie

(dotyczy sposobu 2)

80 −17% z liczby 80 =

80 −17%=

148 −24% z liczby 148 = 148 −24%=

95 −9% z liczby 95 =

95 −9%=

16 −88% z liczby 16 =

16 −88%=

Spośród 4-ch różnych sposobów zaprezentowanych na początku tego podtematu, najszybszy jest sposób 3. Nie

trzeba w nim pamiętać nawet o kolejności wykonywania działań. Przewagę szybkości tego sposobu nad pozostałymi

trzema sposobami zobaczysz głównie tam, gdzie będzie kilka obniżek pod rząd, np. w zadaniu o treści:

W styczniu sklep ze sprzętem AGD sprzedawał lodówkę firmy X , za 1600 zł. Miesiąc później obniżył jej cenę

o 5%, a w kolejnych kwartałach odpowiednio o 10% i o 6%. Ile obecnie kosztuje ta lodówka? [Odp. 1285,92 zł.]

Ćwiczenie: Uzupełnij tabelkę.

zapis działania

wg sposobu 2

zapis działania

wg sposobu 3

zapis równania

wg sposobu 4

100%

85% = 40

Liczbę 40 zmniejszono o 15% tej liczby. 40−15% z liczby 40= 85%⋅40=

Liczbę 40 zmniejszono o 125% tej liczby.

Liczbę 60 zmniejszono o 25,8% tej liczby.

Liczbę 8 zmniejszono o 32,17% tej liczby.

Liczbę 6,4 zmniejszono o 3% tej liczby.

Liczbę 8,2 zmniejszono o 9,1% tej liczby.

Zadanie: Kilogram cukru na bazarze kosztuje 4 zł . Pani Bogusia wytargowała 5% zniżki. Ile pani Bogusia zapłaci za

12 kg tego cukru?

Wykres warstwowy

Obliczenia sposobem 3

Obliczenia sposobem 4

Skoro przyznano 5% zniżki, to za ki-

logram zapłacono 95% jego ceny.

, ł/

12 kg

⋅ 95% ⋅ 4 zł/kg

=45,60 zł

100%— 4 zł/kg

95% —

Zielone kg skrócone zostało z różowym kg.

Aby obliczyć zieloną liczbę tj. 3,80 zł/kg

trzeba zamiast 95% napisać ułamek 95/100,

skrócić go przez 5 i w otrzymanym ułamku

19/20 skrócić liczbę 20 z niebieską liczbą 4

zł/kg. W rezultacie obliczenia powinny być

takie:

=12 kg⋅ 19

Układasz proporcję:

100%

95% = 4 zł/kg

Skracasz symbole % oraz liczbę 100

z liczbą 95 (przez 5).

19 = 4 zł/kg

5 ⋅1 zł/kg= 228

5 zł=45,60 zł

Mnożysz po skosie.

20 =76 zł/kg /: 20

= 3,80 zł/kg

12 kg ⋅ 3,80 zł/kg = 45,60 zł

Odp.: Pani Bogusia za 12 kg tego cukru zapłaci 45,60 zł.

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 3

Ćwiczenie: Ile procent wartości towaru zapłaci klient jeśli wytarguje zniżkę: a) 2%

b) 14%

c) 20,7% ?

[Podpowiedź. Od 100% odejmij wytargowaną zniżkę. Odp. a) 98%, b) 86%, c) 79,3%.]

Ćwiczenie: Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 120 pomniejszysz o: a) 10% b) 25% c) 45% d) 33,(3)% ?

[Podpowiedź. Pomniejszenie liczby 120 o podany procent polega dokładnie na tym samym co w zadaniu powyższym wytargowanie zniżki. a) Pomnóż liczbę

120 przez 90%. Na wykresie warstwowym jest to równoważne ustawieniu 10 cegiełek po 10%, b) 4 cegiełki po 25%, c) 20 cegiełek po 5%, d) 3 cegiełki po

33,(3)%. Odp.: a) 108, b) 90, c) 66, d) 80.]

Ćwiczenie: Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 120 pomniejszysz o: a) 1,5% b) 2,5% c) 8,5% d) 66,(6)% ?

[Podpowiedź. a) 200 cegiełek po 0,5% lub pomnożenie liczby 120 przez 98,5%, b) 40 cegiełek po 2,5%, c) 200 cegiełek po 0,5%, d) 3 cegiełki po 33,(3)%.

Odp.: a) 118,2; b) 117; c) 109,8; d) 40.]

Ćwiczenie: Jaką liczbę otrzymasz, jeśli liczbę 16,8 pomniejszysz o: a) 14% b) 2,4% c) 50% d) 33,(3)% ?

[Podpowiedź. a) 100 cegiełek po 1%, b) Skoro ze 100% zabierasz 2,4% to ile procent zostanie? Z jakiej liczby?. Odp.: a) 14,448; b) 16,3968; c) 8,4; d) 11,2.]

Ćwiczenie: Cenę płyty DVD obniżono o 5%. Ile ona kosztuje po obniżce, jeśli przed obniżką jej cena wynosiła

1,20 zł? [Podpowiedź. Skoro pomniejszono jej cenę o 5%, to ile procent pozostało? Z jakiej ceny? Odp.: 1,14 zł.]

Ćwiczenie: Abonament na Internet został obniżony o 15%. Ile teraz on kosztuje, jeśli przed obniżką trzeba było za

niego zapłacić 45 zł? [Podpowiedź. Skoro pomniejszono jego cenę o 15%, to ile procent pozostało? Z jakiej ceny? Odp.: 38,25 zł.]

Ćwiczenie: Pani Krysia zarabia 2600 zł brutto. Jej pensja netto jest o 32% mniejsza od pensji brutto. Ile wynosi

pensja netto pani Krysi? [Odp. 1768 zł.]

Ćwiczenie: Pani Ewa złożyła zamówienie na kosmetyki na kwotę 3 890,00 zł przez co przyznano jej zniżkę w wyso-

kości 35%. Ile złotych zapłaci pani Ewa za zamówione kosmetyki? [Odp. 2528,50 zł.]

Ćwiczenie: Gracz giełdowy zapisał się na kupno 300 akcji telewizji TVN. Ile zostanie mu przydzielonych akcji, jeśli

redukcja kupna wyniosła aż 96% ? (Redukcja kupna to procentowa wartość o którą zostanie pomniej-

szona ilość zamówionych akcji.) [Odp. 12 szt.]

Wyliczanie liczby która pomniejszona o zadany procent da ustaloną liczbę

Przypuśćmy, że chcesz obliczyć liczbę, która zmniejszona np. o 8% jej wartości daje liczbę np. 115 .

Wariant 1

Wariant 2

Wariant 3

Bezpośrednio z treści zadania układasz równanie:

Zauważasz, że pomniejszając liczbę o 8% jej warto-

ści zostanie Ci 92% tej liczby.

Zauważasz, że pomniejszając

liczbę o 8% jej wartości zosta-

nie Ci 92% tej liczby.

Liczba brązowa dodać liczba

zielona zawsze muszą dawać

100%.

Skracasz symbole % oraz

liczbę 100 z liczbą 92 (przez

4).

− 8%

= 115

Liczba brązowa dodać liczba zielona zawsze muszą

dawać 100%.

23 =

115

0,92⋅ =115 /:0,92

92% = 115

0,92⋅ =115 /:0,92

=125

Mnożysz po skosie.

100%—

92% — 115

Układasz proporcję:

100%

92% =

23 =2875 /: 23

=125

115

Zatem pomniejszając liczbę 125 o 8% jej wartości dostaniesz liczbę 115.

Zadanie: Sklep obniżył cenę komputera o 12% jego wartości. Ile przed obniżką kosztował ten komputer, jeśli teraz

kosztuje 858 zł ?

Rozwiązanie na podstawie wariantu 1

Rozwiązanie na podstawie wariantu 2

Rozwiązanie na podstawie wariantu 3

Bezpośrednio z treści zadania układasz równanie:

Zauważasz, że pomniejszając liczbę o 12% jej war-

tości zostanie Ci 88% tej liczby.

Zauważasz, że pomniejszając

liczbę o 8% jej wartości zostanie

Ci 92% tej liczby.

100%—

88% — 858 zł

Układasz proporcję:

100%

88% =

Skracasz symbole % oraz

liczbę 100 z liczbą 88 (przez

4).

− 12%

= 858 zł .

88% = 858 zł

0,88⋅ =858 /:0,88

22 =

858 zł

0,88⋅ =858 zł /:0,88

=975 zł

Mnożysz po skosie.

858 zł

22 =21450 zł /: 22

=975 zł

Odp. Przed obniżką ten komputer kosztował 975 zł.

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 4

Ćwiczenie: Uzupełnij tabelkę i odpowiedz na zadane pytania.

Zapis działania

wg wariantu 1

Zapis działania

wg wariantu 2

Zapis danych

wg wariantu 3

⋅90%=54 100%—

Jaka liczba pomniejszona o 10% da liczbę 54? [Odp. 60]

−10% =54

90%—54

Jaka liczba pomniejszona o 15% da liczbę 68? [Odp. 80]

Jaka liczba pomniejszona o 16% da liczbę 126? [Odp. 150]

Jaka liczba pomniejszona o 52% da liczbę 132? [Odp. 275]

Jaka liczba pomniejszona o 80% da liczbę 5? [Odp. 25]

Jaka liczba pomniejszona o 99% da liczbę 19? [Odp. 1900]

Cenę komputera obniżono o 25% jego ceny. Nowa cena wynosi 1290 zł. Ile kosztował ten kom-

puter przed obniżką? [Odp. 1720 zł.]

⋅75%=1290 zł

Cenę książki obniżono o 40% jej ceny. Nowa cena to 90 zł. Ile kosztowała ta książka przed obniż-

ką? [Odp. 150 zł.]

Cenę 1 kg ziemniaków obniżono o 6% do ceny 4,70 zł/kg. Ile kosztował kilogram tych ziemniaków

przed obniżką? [Odp. 5 zł.]

Ćwiczenie: Cenę żelazka zmniejszono o 18% na 246 zł. Ile ono kosztowało przed obniżką? [Odp. 300 zł.]

Ćwiczenie: Klientka pewnej firmy zakupiła znaczną ilość ciasta na święta w wyniku czego przyznano jej 10% zniżki.

Na jaką kwotę zamówiła ciasto, skoro po przyznaniu zniżki zapłaciła 72,00 zł? [Odp. 80 zł.]

Ćwiczenie: Pani Iwa złożyła zamówienie na kosmetyki na pewną kwotę. Ponieważ była to duże zamówienie, więc

przyznano jej zniżkę w wysokości 35%. Na jaką kwotę złożyła zamówienie pani Iwa, skoro za zamówio-

ne kosmetyki zapłaciła 8 645 zł? [Odp. 13000 zł.]

Zadanie: Liczba o 25% mniejsza od jest o 281 większa od iloczynu liczb 14,8 i . Ile wynosi ?

Rozwiązanie bez układania proporcji

Rozwiązanie z układaniem proporcji

3 =

14,8 +281

Bezpośrednio z treści zadania układasz równanie:

Zauważasz, że pomniejszając liczbę o 25% jej wartości zo-

stanie Ci 75% tej liczby.

100%—

75% — 14,8 +281

Mnożysz po skosie.

3 =4(14,8 +281)

3 =59,2 +1124

3 −59,2 =1124

75%

=14,8⋅

+281

0,75 −14,8 =281

−14,05 =281 /:(−14,05)

Układasz proporcję:

100%

75% =

14,8 +281

Skracasz symbole % oraz liczbę 100 z liczbą 75 (przez 25).

=−20

−56,2 =1124 /:(−56,2)

=−20

Odp.: =−20.

Ćwiczenie: Liczba o 12% mniejsza od jest 4 razy większa od potrojonej liczby . Ile wynosi ? [Odp. 0.]

Ćwiczenie: Liczba o 26% większa od podwojonej liczby jest 5 razy mniejsza od ilorazu liczby i liczby 8. Ile wyno-

si ? [Podpowiedź. Iloraz to wynik dzielenia. Lewa strona równania powinna wynosić 126%⋅2 . Odp. 0.]

Ćwiczenie: Liczba o 12,5% mniejsza od potrojonej liczby jest o 5 mniejsza od ilorazu liczby i liczby 8. Ile wynosi

? [Odp. −2.]

Wersja z dnia: 08.09.2011

http://matematyka.strefa.pl

Procenty — strona 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: