RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
tu’ = f(u) – u.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE
Niejednorodne:,
Jednorodne: ,
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE BERNOULLIEGO
, rÎR-{0,1}.
(LN)
KRZYWE ORTOGONALNE
Aby otrzymać równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych danych równaniem, to:
1. zróżniczkować równanie rodziny krzywych
2. z jednego z równań wyznaczyć C i wstawić do drugiego
Aby znaleźć rodzinę krzywych ortogonalnych do rodziny krzywych F(t,y,C)=0, należy wyznaczyć równanie różniczkowe danej rodziny krzywych, zastąpić w tym równaniu y’ przez –1/y’, a następnie rozwiązać otrzymane w ten sposób równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych.
RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO
y’ = u
1. doprowadzić do postaci y”=f(y,y’)
2. podstawić y’=u
3. scałkować po du/dt [liniowe (y/t) lub Bernoulliego]
4. wyliczyć y jako całkę z u
y = q(y)
2. podstawić q(y)=y’, y”=q*dq/dy
3. wyznaczyć q (LN lub LJ)
4. podstawić q=y’
5. scałkować po dy/dt i wyliczyć y
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE
(LJ2)
Niech j(t), y(t) będą rozwiązaniami równania jednorodnego (LJn). Wtedy dla dowolnych stałych C1, C2 funkcja jest także rozwiązaniem tego równania.
Układ fundamentalny równania (LJn)
Układ n rozwiązań (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) równania jednorodnego (LJn) określonych na przedziale (a,b) nazywamy układem fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego t Î (a,b) spełniony jest warunek
Uwaga. Powyższy wyznacznik oznaczamy przez W(y1(t), y2(t), ..., yn(t)) i nazywamy wrońskianem układu funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)).
Wzór Liouville’a
Niech (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) będzie układem n rozwiązań równania jednorodnego (LJn) określonych na przedziale (a,b). Wtedy ich wrońskian W(t) = W(y1(t), y2(t), ..., yn(t)) spełnia warunek
,
gdzie t0 jest dowolnym punktem z przedziału (a,b).
Aby znaleźć y2(t) mając y1(t) przyjmujemy dowolnie y2(t0)=a i y’2(t0)=b
, gdzie p1(r)=p1(t) równanie (LJ2).
Mnożąc, otrzymujemy równanie (LN) lub (LJ) i je rozwiązujemy szukając y2(t).
Tw. Jeżeli y1(t) jest rozwiązaniem (LJ2) to i funkcje tworzą układ fundamentalny.
Tw. Jeżeli (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (LJn). Wtedy rozwiązanie ogólne tego równania dane jest wzorem , gdzie C1, C2, ..., Cn są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.
Tw. Niech j(t) będzie różnym od zera rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu n. Wtedy przez podstawienie
równanie to sprowadza się do równania liniowego jednorodnego rzędu n - 1 (względem nowej zmiennej z).
Metoda obniżania rzędu
Podstawić j(t) i obliczyć do wyżej podanego wzoru, obliczyć y’, y’’,... i podstawić do podanego równania różniczkowego (całki uproszczą się), rozwiązać LJ1 ze zmienną z i wyliczyć y ze wzoru .
Aby znaleźć równanie różniczkowe LJ mając dane y1(t) i y2(t) należy napisać rozwiązanie ogólne, policzyć y’ i y’’, wyrugować C1, C2 i podstawić do rozwiązania ogólnego.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH
Def. 2.3.1 (równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach)
(LSn) , gdzie p1, p2, ..., pn Î R.
(LS2) .
wielomian i równanie charakterystyczne
równanie charakterystyczne:
wielomian charakterystyczny:
Postać układu fundamentalnego równania (LSn)
Niech l1, ..., ls będą rzeczywistymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio k1, ..., ks i niech , gdzie będą zespolonymi pierwiastkami o krotnościach odpowiednio l1, ..., lm wielomianu charakterystycznego w(l) równania liniowego o stałych współczynnikach (LSn), przy czym k1+...+ks+2(l1+...+lm)...
wesol1987