Kratownice Teoria.pdf

KRATOWNICE

Kratownica - ukþad prħtw poþĢczonych przegubami w wħzþach majĢcy niezmiennĢ geometrycznie

postaę.

ZaþoŇenie przegubowego poþĢczenia prħtw jest wyidealizowane ( oznacza ono, Ňe koıce prħtw

mogĢ siħ wzglħdem siebie obracaę ). W rzeczywistych rozwiĢzaniach konstrukcyjnych kratownice

stanowiĢ dŅwigary kratowe o sztywnych wħzþach. ZaþoŇenie to jednak znacznie upraszcza teoriħ

kratownic i sposoby ich rozwiĢzywania, nie wprowadzajĢc jednak wiħkszych bþħdw.

Dodatkowe zaþoŇenia w teorii kratownic to:

• prostoliniowoĻę prħta,

• obciĢŇenie dziaþajĢce na kratownice wyþĢcznie w wħzþach w postaci siþ skupionych.

W ukþadach kratowych materiaþ jest lepiej wykorzystany niŇ w belkach peþnoĻciennych i dlatego

zastosowanie kratownic w konstrukcjach o duŇych rozpiħtoĻciach (dŅwigary mostowe, podciĢgi,

przekrycia dachowe) jest korzystne.

GEOMETRYCZNA NIEZMIENNOĺĘ I STATYCZNA WYZNACZALNOĺĘ

KRATOWNIC

WiħkszoĻę stosowanych w praktyce inŇynierskiej kratownic utworzonych jest z trjkĢtw, czyli

ukþadw o prostej budowie geometrycznej. PoniewaŇ trjkĢt jest ukþadem geometrycznie

niezmiennym, wiħc taka kratownica bħdzie rwnieŇ geometrycznie niezmienna. Stosowanie wzorw

oglnych 3t = r+s, w celu ustalenia warunkw kinematycznej i statycznej wyznaczalnoĻci ukþadu

kratowego nie jest dogodne ze wzglħdu na duŇĢ liczbħ przegubw wielokrotnych, þĢczĢcych ze sobĢ

poszczeglne prħty kratownicy traktowane jako tarcze, co sprawia, Ňe ustalanie liczby þĢcznikw

wewnħtrznych jest uciĢŇliwe. Wygodniej jest w tym przypadku korzystaę z kryterium statycznej i

kinematycznej wyznaczalnoĻci, wiĢŇĢcego liczbħ prħtw kratownicy z liczbĢ jej wħzþw.

JeŇeli kratownica jako caþoĻę znajduje siħ w rwnowadze pod dziaþaniem siþ zewnħtrznych, to i

kaŇdy wyodrħbniony jej wħzeþ pozostaje rwnieŇ w rwnowadze przy dziaþaniu przyþoŇonych

doı siþ zewnħtrznych oraz oddziaþywaı ze strony zbiegajĢcych siħ w nim prħtw. Dla kaŇdego

wħzþa, obciĢŇonego zbieŇnym ukþadem siþ, moŇemy ustawię dwa rwnania rwnowagi

Dla w wħzþw kratownicy otrzymamy 2w rwnaı liniowych, ktre bħdĢ zawieraþy siþy obciĢŇajĢce P

siþy podþuŇne w prħtach N oraz skþadowe reakcji podpr. Z tych rwnaı rwnowagi wyznaczymy

siþy podþuŇne we wszystkich prħtach kratownicy oraz skþadowe reakcji podpr.

Stopieı statycznej niewyznaczalnoĻci kratownicy moŇna wiħc wyznaczyę ze wzoru:

n=p+r-2w

gdzie:

p Î liczba prħtw kratownicy,

r Î liczba reakcji podpr,

w Î liczba wħzþw kratownicy ( þĢcznie z podporowymi ).

Przy p > (2w-r ) kratownica ma wiħkszĢ liczbħ prħtw niŇ to jest konieczne dla jej geometrycznej

niezmiennoĻci i liczba niewiadomych jest wiħksza niŇ liczba rwnaı rwnowagi. Kratownica taka

jest przesztywniona i statycznie niewyznaczalna. JeŇeli zaĻ p < (2wÏr), to ukþad jest

geometrycznie zmienny i nie moŇe byę stosowany w konstrukcjach budowlanych.

P ix =

ANALITYCZNE METODY WYZNACZANIA SIý W PRĦTACH

Wyznaczanie skþadowych reakcji podpr kratownicy, traktowanej jako tarcza niezmienna, odbywa

siħ tak jak dla odpowiednich, tzn. tak samo podpartych ukþadw pelnoĻciennych.

Siþami wewnħtrznymi w kratownicy sĢ siþy podþuŇne w jej prħtach. W celu ich wyznaczenia

najczħĻciej sĢ stosowane nastħpujĢce metody statyczne:

a) metoda rwnowaŇenia wħzþw, polegajĢca na myĻlowym wycinaniu poszczeglnych wħzþw

kratownicy i ustawianiu rwnaı rwnowagi siþ dziaþajĢcych na rozpatrywany wħzeþ,

b) metoda przekrojw (Rittera), wedþug ktrej rozcinamy myĻlowo kratownice odpowiednim

przekrojem na dwie czħĻci i wykorzystujemy warunki rwnowagi wszystkich siþ dziaþajĢcych na

jednĢ z nich.

Kierunki poszukiwanych siþ podþuŇnych sĢ znane, zwroty ich zaĻ najproĻciej jest przyjmowaę od

wħzþa do pomyĻlanego przekroju, co odpowiada rozciĢganiu. Wobec tego zaþoŇenia w wyniku

obliczeı siþy rozciĢgajĢce otrzymamy ze znakiem ,,plus", ĻciskajĢce Ï ze znakiem áminus".

¤ Metoda rwnowaňenia wĨzÿw.

Dla kaŇdej statycznie wyznaczalnej kratownicy moŇemy, rozpatrujĢc rwnowagħ wyodrħbnionych

jej wħzþw, ustawię 2w rwnaı, z ktrych wyznaczymy p siþ w prħtach oraz r skþadowych reakcji

podpr. RozwiĢzywanie otrzymywanych przy tym ukþadw zþoŇonych z wielu rwnaı jest bardzo

uciĢŇliwe. Dlatego teŇ przy obliczaniu najczħĻciej spotykanych ukþadw kratowych wyznaczamy

najpierw skþadowe reakcji podpr z trzech rwnaı rwnowagi, zastosowanych do caþej kratownicy,

nastħpnie zaĻ obliczamy kolejno po dwie niewiadome siþy w prħtach z rwnaı rwnowagi

poszczeglnych wħzþw. Rwnowaga siþ w ostatnim wħŅle jest sprawdzeniem poprawnoĻci

rozwiĢzania.

Sposb postħpowania wyjaĻnimy na przykþadzie kratownicy pokazanej na rys., dla ktrej

w = 8, p = 13 i r = 3 (n= 13 + 3-2*w=0).

Skþadowe reakcji podpr wyznaczymy z 3 rwnaı typu :

oraz

Wycinamy myĻlowo poszczeglne wħzþy i dla kaŇdego wħzþa w ktrym sĢ co najwyŇej dwie

niewiadome piszemy rwnania rwnowagi:

Zwroty siþ na rysunkach wyciħtych wħzþw odpowiadajĢ rozciĢganiu.

Obliczanie moŇemy rozpoczĢę od wħzþa 1 (podpora A) lub wħzþa 8 (podpora B),

w ktrych zbiegajĢ siħ tylko po dwa prħty. ZaczynajĢc od wħzþa np. A wyznaczamy

z 2 rwnaı siþy w prħtach (1-2) i (1-3) . Przechodzimy nastħpnie do wħzþa, w ktrym bħdĢ tylko

dwie siþy nieznane, a wiħc do wħzþa 3 itd.

PoniewaŇ reakcje podpr V A , H A oraz R B wyznaczamy z 3 rwnaı zastosowanych do caþej

kratownicy, wiħc do wyznaczenia 13 siþ w prħtach wystarczyþo 13 rwnaı, rwnania zaĻ 14

(wħzeþ 6), 15 i 16 sþuŇĢ jako sprawdzenie. Widzimy, Ňe sposb ten moŇemy zastosowaę tylko

wwczas, gdy w kratownicy jest przynajmniej jeden wħzeþ, w ktrym zbiegajĢ siħ tylko dwa

prħty (w szczeglnym przypadku moŇemy zaczĢę obliczanie od wħzþa, w ktrym zbiegajĢ siħ trzy

prħty, z ktrych dwa leŇĢ na jednej prostej).

Prħty zerowe

Niektre prħty przy okreĻlonym obciĢŇeniu kratownicy nie pracujĢ. Siþy w nich rwne sĢ zeru i

dlatego nazwano je prħtami zerowymi. Wskazane jest przed przystĢpieniem do obliczenia

kratownicy wyszukaę takie prħty, co znacznie uþatwi wyznaczanie siþ w prħtach pozostaþych.

M A =

BadajĢc rwnowagħ wyodrħbnionych wħzþw i rzutujĢc siþy na odpowiednie osie z þatwoĻciĢ

rozpoznamy prħty niepracujĢce. Kilka przypadkw charakterystycznych pokazano na rys.

a.) JeŇeli w wħŅle nieobciĢŇonym schodzĢ siħ tylko dwa prħty o rŇnych kierunkach, to

siþy w nich sĢ rwne zeru, co wynika z warunku rwnowagi dwch siþ (rys. a).

b.) JeŇeli w wħŅle nieobciĢŇonym zbiegajĢ siħ trzy prħty, z ktrych dwa leŇĢ na jednej prostej, to

z rwnania sumy rzutw na oĻ do niej prostopadþĢ wynika, Ňe siþa w trzecim prħcie rwna siħ

zeru.

¤ Metoda przekrojw (RITTERA). IstotĢ tej metody jest niezaleŇne wyznaczenie siþy w

dowolnym prħcie kratownicy z rwnania rwnowagi, zawierajĢcego jednĢ niewiadomĢ.

KaŇdĢ kratownicħ prawie zawsze moŇna rozciĢę przekrojem przechodzĢcym przez trzy prħty,

ktrych kierunki nie przecinajĢ siħ w jednym punkcie.

Siþy w przeciħtych prħtach wyznaczymy wykorzystujĢc warunki rwnowagi jednej z odciħtych

czħĻci kratownicy. Kierunki poszukiwanych siþ przecinajĢ siħ parami w 3 punktach nie

leŇĢcych na jednej prostej, zwanych punktami RITTERA . StosujĢc rwnania rwnowagi bħdĢce

sumĢ momentw wszystkich siþ, dziaþajĢcych na rozpatrywanĢ czħĻę kratownicy, wzglħdem

kaŇdego z tych 3 punktw RITTERA i otrzymujemy za kaŇdym razem rwnanie z jednĢ nie-

wiadomĢ.

W przypadku gdy dwa z przeciħtych prħtw sĢ rwnolegþe do siebie, stosujemy trzy rwnania

rwnowagi typu : dwa rwnania sumy momentw wzglħdem punktw RITTERA , w ktrych

trzeci prħt przecina siħ z prħtami rwnolegþymi, oraz rwnanie sumy rzutw na oĻ prostopadþĢ

do kierunku prħtw rwnolegþych. StosujĢc metodħ RITTERA wyznaczamy najpierw skþadowe

reakcji podpr, prowadzimy myĻlowo przekrj przez prħty, w ktrych chcemy wyznaczyę siþy,

i rozpatrujemy rwnowagħ jednej z czħĻci kratownicy, zwykle tej, na ktrĢ dziaþa mniejsza

liczba siþ.

W celu wyznaczenia siþ w prħtach 2-4, 2-5 i 3-5 w kratownicy pokazanej na rys. prowadzimy

przez te prħty przekrj − i rozpatrujemy rwnowagħ lewej czħĻci kratownicy.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: