pomoce.matura_z_matmy.pdf

Tajemnice

Królowej Nauk

Czyli wszystko, co musisz wiedzieç na 5 minut przed maturà z matematyki

Do matury jeszcze pi´ç miesi´cy, ale na nauk´ nigdy nie

jest za wczeÊnie! W tym miesiàcu prezentujemy jedyny

w swoim rodzaju zestaw typowych matematycznych b∏´-

dów oraz u˝ytecznych porad – wszystko przydatne na eg-

zamin z matematyki.

Âpiesz si´ powoli czyli

uwaga na b∏´dy

Podczas rozwiàzywania zadaƒ maturalnych naj-

cz´Êciej pope∏niamy typowe b∏´dy rachunkowe

oraz tzw. b∏´dy nieuwagi . Pierwszy ich rodzaj

pojawia si´ wskutek poÊpiechu i zdenerwowa-

nia (jak choçby: ).

B∏´dy nieuwagi powstajà najcz´Êciej przy

przepisywaniu równania czy warunku z jed-

nej strony na drugà, tak˝e z brudnopisu do

czystopisu, a nawet z linijki do linijki. Do te-

go dochodzà pomy∏ki wynikajàce z niezbyt

uwa˝nego przeczytania treÊci zadania, a wi´c

nieprawid∏owo sformu∏owane odpowiedzi

czy przeoczone polecenia. Mo˝na ich unik-

nàç tylko przez wzmo˝onà koncentracj´

i opanowanie, bardzo pomocne sà tu wcze-

Êniejsze çwiczenia rachunkowe nawet na

prostych zadaniach.

Kolejny cz´sty rodzaj b∏´dów dotyczy za-

daƒ geometrycznych . Maturzysta bez-

wiednie rysuje jakiÊ specjalny przypadek,

o którym nie ma mowy w poleceniu (np.

w zadaniu o dowolnym trójkàcie rysunek

przedstawia jakiÊ charakterystyczny trójkàt

– prostokàtny lub równoramienny), a na-

st´pnie te specjalne w∏asnoÊci figury geome-

trycznej z rysunku wykorzystuje w rozwià-

zaniu zadania.

Strategia: jak rozwiàzywaç

maturalne zadania?

1. Egzamin zacznij od szybkiego przejrzenia wszystkich zadaƒ

i ju˝ podczas pierwszego czytania staraj si´ wynotowaç wszel-

kie dane, przydatne wzory lub sugestie naprowadzajàce na roz-

wiàzanie. JeÊli ju˝ na tym etapie pojawi si´ koncepcja komplet-

nego rozwiàzania – zanotuj jà i przejdê do nast´pnego zadania.

2. W pierwszej kolejnoÊci rozwià˝ te zadania, z którymi nie

masz ˝adnych problemów. Nast´pnie wróç do tych, których

rozwiàzania nie by∏eÊ pewny. Dopiero na samym koƒcu spróbuj

rozwiàzaç te, o których na poczàtku pomyÊla∏eÊ, ˝e sobie z ni-

mi nie poradzisz.

3. Odpowiedê podana w rozwiàzaniu zadania musi korespon-

dowaç z jego za∏o˝eniami, dlatego przed jej zapisaniem ponow-

nie przeczytaj treÊç pytania. Pami´taj, by wyraênie oznaczyç

w∏aÊciwe rozwiàzanie, gdy˝ zostawienie jednego poprawnego

i kilku b∏´dnych skutkuje nie przyznaniem punktów.

4 Nigdy nie siedê d∏ugo nad zadaniem, je˝eli nie pojawia si´

szansa na jego rozwiàzanie.

5. O ile to mo˝liwe, rozwiàzuj zadania od razu w czystopisie,

w ten sposób zaoszcz´dzisz cenny czas.

6. Pami´taj, ˝e wi´kszoÊç zadaƒ na maturze ∏àczy w sobie ró˝-

ne dzia∏y matematyki.

7. W matematyce, w odró˝nieniu od innych przedmiotów, nie

jest wa˝na metoda, tylko wynik. Zdarza∏o si´ ju˝, ˝e niektóre

zadania maturalne mo˝na by∏o rozwiàzaç nawet 9 sposobami

– ka˝dy z nich by∏ poprawny i dawa∏ maksymalnà liczb´ punk-

tów. JeÊli u˝yjesz bardzo nietypowej metody, za to w popraw-

ny sposób, to i tak otrzymasz maksa!

Procenty, procenty ,

procenty

Egzaminatorzy bardzo lubià zadania z procenta-

mi. Rozwiàzujàc te najbardziej typowe warto

czasem „na chwil´” wprowadziç pomocniczà

niewiadomà.

Przyk∏ad: Lodówka najpierw podro˝a∏a o 10%,

a potem w ramach promocji potania∏a o 15%.

O ile procent zmieni∏a si´ cena lodówki?

Zauwa˝my, ˝e nie znamy poczàtkowej jej ceny,

ale jak si´ zaraz oka˝e, do niczego nie b´dzie

nam ona potrzebna. Oznaczam poczàtkowà ce-

n´ lodówki przez x. Po podwy˝ce o 10% b´dzie

ona wynosiç x + 10%x = 110% x = 1,1x. Ob-

ni˝ka o 15% da nam cen´

1,1x –15% · 1,1x = 1,1x – 0,165x = 0,935 x. Te-

raz musimy policzyç zmian´ procentowà:

Idê na skróty!

Wiele zadaƒ daje si´ rozwiàzaç na kilka sposobów, z których

cz´Êç jest zdecydowanie krótsza od innych. By u∏atwiç sobie ˝y-

cie na egzaminie warto poznaç kilka sztuczek wykraczajàcych

poza minimum programowe – zastosowanie wektorów w geo-

metrii analitycznej czy wyznaczników do rozwiàzywania uk∏a-

dów równaƒ, twierdzenie cosinusów, twierdzenie o pierwiast-

kach ca∏kowitych, dzielenie wielomianów zamiast ich grupowa-

nia, zastosowanie wzorów kombinatorycznych.

Przyk∏ad: Znajdê d∏ugoÊç wysokoÊci opuszczonej na bok AB

w trójkàcie o wierzcho∏kach A = (–1, 2); B = (1, –3), C = (3, 5)

Tradycyjnie zadanie rozwiàzujemy nast´pujàco: szukamy równania

prostej AB , szukamy równania prostej prostopad∏ej do AB prze-

chodzàcej przez C , szukamy punktu przeci´cia si´ tych prostych

(np. punkt D ), szukamy odleg∏oÊci CD i tak uzyskujemy wysokoÊç.

Mamy tu jednak sporo liczenia – trzy uk∏ady równaƒ i wzór na od-

leg∏oÊç. Tymczasem wystarczy policzyç ze wzoru z tablic (albo wy-

znaczników pary wektorów) pole trójkàta ABC oraz odleg∏oÊç AB

(podstawa trójkàta), aby d∏ugoÊç wysokoÊci dostaç niemal od r´ki.

A zatem lodówka stania∏a o 6,5%.

Cz´sto spotykanym typem zadaƒ z obliczeniami

procentowymi sà porównania. W ich przypadku

nale˝y pami´taç, ˝e zawsze dzielimy przez wiel-

koÊç, która wyst´puje po s∏owach ni˝ i od .

Przyk∏ad: JaÊ ma do szko∏y 2 km, a Ma∏gosia

3 km. O ile procent Ma∏gosia ma dalej do szko∏y

ni˝ JaÊ, a o ile procent JaÊ ma bli˝ej ni˝ Ma∏gosia?

Najpierw obliczamy ró˝nic´ pomi´dzy odle-

g∏oÊcià od szko∏y Jasia i Ma∏gosi, która wynosi

oczywiÊcie 3 km – 2 km = 1 km. W pierwszym

przypadku porównujemy uzyskany wynik do

Wa˝ne drobiazgi techniczne

W ˝adnym wypadku nie u˝ywaj korektora, gdy˝ praca mo˝e

zostaç uniewa˝niona. Najlepiej wcale nie bierz go na egzamin.

Poza rysunkami staraj si´ nie u˝ywaç o∏ówka. Je˝eli zapomnisz

poprawiç swoje zapiski d∏ugopisem, to ten fragment pracy nie b´-

dzie oceniany.

Nigdy nie sugeruj si´ wielkoÊcià miejsca na arkuszu przezna-

czonego na rozwiàzanie. Czasem na zadanie wymagajàce zaled-

wie pi´ciu linijek rozwiàzania przeznaczone sà dwie strony, cza-

sem odwrotnie.

JeÊli nie starczy Ci miejsca na arkuszu, kontynuuj rozwiàzanie

w brudnopisie. Koniecznie jednak przekreÊl s∏owo brudnopis ina-

pisz ciàg dalszy czystopisu podajàc numer zadania, a na arkuszu

zaznacz, ˝e dalsze rozwiàzanie jest w brudnopisie.

Komentarze, nawet te poprawne, ale nie wymagane w treÊci

zadania, nie sà przez egzaminatorów brane pod uwag´.

Rozgryêç kalkulator

Przed maturà koniecznie przetestuj mo˝liwoÊci swojego kalkulatora (pami´taj, ˝e musi byç to kalkulator pro-

sty, gdy˝ na egzaminie niedozwolone jest u˝ywanie kalkulatorów naukowych). W zale˝noÊci od modelu mo˝-

na liczyç np. 0,125 2 poprzez naciÊni´cie klawiszy 0,125X= albo (1,05) 6 naciskajàc 1X1,05= = = = = = (dla

niektórych kalkulatorów 1,05X1= = = = = =). Do tego warto nauczyç si´ pos∏ugiwania pami´ciami (klawi-

sze M+, M-, MR), które bardzo przydajà si´ w zadaniach ze statystyki.

odleg∏oÊci Jasia, otrzymujàc ,

czyli JaÊ ma o 50% bli˝ej ni˝ Ma∏gosia. W dru-

gim porównujemy do odleg∏oÊci od szko∏y

Ma∏gosi, co daje nam wynik 33,33%.

Wzory dobrze znaç

Na egzaminie masz dost´p do wzorów zapisa-

nych w tablicach matematycznych, nie trzeba

wi´c zaraz uczyç si´ ich na pami´ç (choç warto,

gdy˝ nie b´dzie tam wszystkich wzorów i twier-

dzeƒ – dla w∏asnego bezpieczeƒstwa przed ma-

turà dok∏adnie zapoznaj si´ z tablicami). Koniecz-

nie zaÊ trzeba wiedzieç o ich istnieniu tak, by móc

je zastosowaç podczas rozwiàzywania zadaƒ.

Najwa˝niejszà sprawà jest dostosowanie literek

ze wzorów do naszych oznaczeƒ. Pami´taj, ˝e

nie zawsze x we wzorze odpowiada literce

x w zadaniu. Uwa˝aj, by nie zapomnieç o warto-

Êci a we wzorze na pierwiastki równania kwad-

Przydatne triki i wa˝ne wzory: Podstawy, które musisz znaç:

Geometria:

Pole trójkàta ABC o wierzcho∏kach

A=(x A , y A ), B=(x B , y B ), C=(x C , y C ):

Wzory uproszczonego mno˝enia

i dzia∏ania na pierwiastkach

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2

( a – b )( a + b ) = a 2 – b 2

Ciàgi arytmetyczne i geometryczne

Kàty w okr´gu:

Miara kàta wpisanego

w okràg jest równa po-

∏owie miary kàta Êrod-

kowego, opartego na

tym samym ∏uku.

Miary kàtów wpisanych

w okràg, opartych na

tych samych ∏ukach sà

równe.

Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego o da-

nym pierwszym wyrazie a 1 :

a n = a 1 + ( n – 1) r

Pole trójkàta:

Je˝eli a

≥

0, b

≥

0, m,n ∈ N\{0,1} to:

Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu aryt-

metycznego:

gdzie 2 p = a + b + c (obwód trójkàta), R – pro-

mieƒ okr´gu opisanego i r – promieƒ okr´gu

wpisanego;

Wzór na n-ty wyraz ciàgu geometrycznego

o danym pierwszym wyrazie a 1 :

a n = a 1 · q n –1

Wzór na sum´ n pierwszy wyrazów ciàgu geo-

metrycznego:

ratowego (zamiast maturzyÊci

Prostopad∏oÊcian:

Pole powierzchni:

P = 2 ( ab + bc + ac )

Obj´toÊç:

V = abc

dla b>0

cz´sto piszà ) czy pierwiastku z delty

Graniastos∏up prosty:

Pole powierzchni:

P = 2 p · h+ 2 P p , gdzie 2p jest obwodem podsta-

wy danego graniastos∏upa, a P p polem podstawy

Obj´toÊç:

V = P p · h

(cz´sto pojawia si´ sama delta). Zwróç te˝

uwag´ na prawid∏owe stosowanie wzorów

skróconego mno˝enia (zamiast ( a + b ) 2 = a 2 +

2 ab + b 2 cz´sto piszemy ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 ).

Udowodnij, ˝e

jest liczbà ca∏kowità

Niech,

policzmy x 2

x 2 =

Pole trapezu:

Pole równoleg∏oboku:

P = ah

Deltoid:

Uzasadnij, ˝e je˝eli liczby x, y, z tworzà ciàg aryt-

metyczny rosnàcy, to liczby

a = 2 3–5x , b = 2 3–5y , c = 2 3–5z tworzà ciàg geome-

tryczny malejàcy.

Wi´cej potu na çwi-

czeniach = mniej

krwi w boju

Jak rzetelnie przygotowaç si´ do egzaminu

z matematyki? Oto nasze rady:

Codziennie poÊwi´ç godzin´ zegarowà na

rozwiàzywanie zadaƒ, odpoczywaj w weeken-

Uczestnicz we wszystkich dodatkowych

bàdê bezp∏atnych zaj´ciach z matematyki

Rozwiàzuj archiwalne zadania maturalne

Uzupe∏niaj braki w teorii korzystajàc z pod-

r´czników lub internetu, choçby serwisu

www.Matematyka.org

Rozwiàzania zadaƒ sprawdzaj za pomocà in-

ternetowego kalkulatora www.Poolicz.pl ,

który wszystko liczy „krok po kroku”

Przeglàdaj moderowane przez matematy-

ków fora dyskusyjne, dziel si´ na nich swoimi

obawami, pytaj – np. na www.ForumMate-

matyka.pl

Ostros∏up:

Obj´toÊç:

Sto˝ek:

Pole podstawy:

P b =

Zatem

Wiemy, ˝e x < y < z oraz z definicji ciàgu aryt-

metycznego x – y = y – z . Aby ciàg a, b, c by∏ cià-

giem geometrycznym musimy wykazaç, ˝e

· r · l

Walec:

Pole powierzchni:

P b = 2 ·

P p =

· r 2

Dzia∏ania na pot´gach

a 0 = 1 dla a

Kula:

Pole powierzchni:

P = 4 ·

· r · ( r + l )

Obj´toÊç:

· r · h

≠

· r 2

P = 2 ·

: .

a 1 = a

a m · a n = a m+n

a m : a n = a m–n

dla m>n ` a

· r 2

· r · ( r + h )

Obj´toÊç:

V =

Korzystajàc z równoÊci x – y = y – z mamy:

r – promieƒ podstawy,

h – wysokoÊç sto˝ka,

l – d∏ugoÊç tworzàcej sto˝ka;

· r 2 · h

r – promieƒ podstawy,

h – wysokoÊç walca

≠

r – promieƒ kuli

( a m ) n = a m · n

( a · b ) n = a n · b n

dla b

UdowodniliÊmy, ˝e ciàg liczb a, b, c jest geome-

tryczny.

Pozosta∏o nam dowieÊç, ˝e ciàg jest malejàcy.

Weêm y par´ a, b i policzmy iloraz :

≠

Czego nie b´dzie – poziom podstawowy

Osoby zdajàce matur´ w roku szkolnym 2008/2009, by∏y przygotowywane do egzami-

nu na bazie programów nauczania uwzgl´dniajàcych podstaw´ programowà sprzed

wrzeÊnia 2007r. Majàc na uwadze wprowadzone zmiany oraz mogàce z tego powodu

wyniknàç problemy, na portalu Perspektywy .pl znajdziesz list´ treÊci, które nie b´-

dà obowiàzywa∏y na danym poziomie egzaminów.

www.perspektywy.pl/matematyka

Oblicz wartoÊç wyr a˝ enia:

Z zale˝noÊci x < y < z : x – y < 0.

Niech: , gdzie k = –( x – y ).

(2 15 – 2 16 + 2 –2 + 2 15 ) –1 =

(2 · 2 15 – 2 16 + 2 –2 ) –1 =

(2 16 – 2 16 + 2 –2 ) –1 = 2 2 = 4

i k > 0.

Za miesiàc: Na 5 minut przed... WOS

WykazaliÊmy, ˝e iloraz ciàgu jest mniejszy

od 1 i wi´kszy od 0, wi´c ciàg jest malejàcy.

P =

P p =

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: