transformacje.pdf
(
133 KB
)
Pobierz
Tensory i ich transformacje
mklis@fuw.edu.pl
21 lutego 2012
1
Składowe tensora
Rozwa»my wektor
a
i tensor
T
, który transformuje wektor
a
w wektor
b
, tzn.
b
=
Ta
.
(1)
W kartezja«skiej bazie
R
3
a
ma rozkład
a
=
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
,
(2)
podobnie
b
. Chcemy znale¹¢ składowe tensora
T
. Mamy
b
=
Ta
=
a
1
Te
1
+
a
2
Te
2
+
a
3
Te
3
.
(3)
St¡d, mno»¡c przez odpowiednie wersory, dostajemy składowe
b
b
1
=
e
1
·
b
=
a
1
e
1
·
Te
1
+
a
2
e
1
·
Te
2
+
a
3
e
1
·
Te
3
,
(4)
b
2
=
e
2
·
b
=
a
1
e
2
·
Te
1
+
a
2
e
2
·
Te
2
+
a
3
e
2
·
Te
3
,
(5)
b
3
=
e
3
·
b
=
a
1
e
3
·
Te
1
+
a
2
e
3
·
Te
2
+
a
3
e
3
·
Te
3
.
(6)
Nazywamy poszczególne iloczyny elementami macierzowymi
T
ij
tensora
T
i zapisujemy powy»sze jako
0
1
0
1
0
1
b
1
b
2
b
3
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
a
1
a
2
a
3
B
@
C
A
=
B
@
C
A
B
@
C
A
,
(7)
czyli równanie w postaci macierzowej ma posta¢
[
b
]=[
T
][
a
]
.
(8)
W notacji indeksowej powy»sze zapisujemy jako
b
i
=
T
i
j
a
j
.
(9)
Uwaga:
przyjmujemy tutaj
konwencj¦
, w my±l której tensor
T
działa na wersory bazy kartezja«skiej nast¦-
puj¡co
Te
i
=
T
j
i
e
j
,
(10)
czyli
Te
1
=
T
11
e
1
+
T
21
e
2
+
T
31
e
3
, etc. Przyjmujemy tak¡ konwencj¦, poniewa» wówczas mo»emy zapisa¢
m
-t¡ składow¡ wektora
b
jako
b
m
=
b
·
e
m
=
a
i
T
ji
e
j
·
e
m
=
a
i
T
ji
jm
=
T
mi
a
i
,
(11)
co odpowiada równaniu macierzowemu (
8
). Gdyby±my umówili si¦ inaczej, tzn.
Te
i
=
T
i
j
e
j
,
(12)
wtedy równanie macierzowe, które by±my dostali (o czym łatwo si¦ przekona¢), miałoby posta¢
[
b
]=[
T
]
T
[
a
]
.
(13)
Odpowiadałoby ono tensorowemu równaniu
b
=
Ta
, co jest mało naturalne.
1
2
Transformacje ortogonalne
Zdefiniowali±my na ¢wiczeniach transformacj¦ ortogonaln¡ jako tak¡, która nie zmienia długo±ci i k¡tów
pomi¦dzy wektorami. Pokazali±my, »e tensor
Q
odpowiadaj¡cy takiej transformacji, ma nast¦puj¡c¡ wła-
sno±¢
QQ
T
=
Q
T
Q
=
1
.
(14)
Wynika z tego, »e wyznacznik macierzy, odpowiadaj¡cej transformacji ortogonalnej, jest równy
det
Q
=
±
1
,
(15)
Wspomnieli±my te», »e dowolne dwa układy współrz¦dnych kartezja«skich
{
e
0
}
i
{
e
}
mo»emy ze sob¡
zwi¡za¢ transformacj¡ ortogonaln¡
Q
tak¡, »e
e
0
i
=
Qe
i
,
(16)
czyli zgodnie z nasz¡ konwencj¡
e
0
i
=
Q
ji
e
j
.
(17)
Łatwo sprawdzi¢, »e składowe macierzy[
Q
]s¡ dane przez
Q
mn
=cos(
e
m
,
e
0
n
)
,
(18)
a wi¦c s¡ cosinusami k¡tów pomi¦dzy odpowiednimi wersorami ’starej’ i ’nowej’ bazy. Macierz tych cosi-
nusów kierunkowych nazywamy macierz¡ transformacji z układu nieprimowanego do primowanego. Łatwo
sprawdzi¢, »e je±li potrafimy wyrazi¢ wersory nowej bazy
e
0
i
poprzez wersory starej bazy
e
i
, to mo»emy od
razu poda¢ posta¢ macierzy
Q
, której kolumnami b¦d¡ po prostu nowe wersory (wyra»one przez stare)
0
1
B
@
e
0
1
e
0
2
e
0
3
C
A
.
Q
=
(19)
3
Definicja tensorów poprzez własno±ci transformacyjne
Transformacja składowych kartezja«skich wektora
Rozwa»my na pocz¡tek transformacj¦ składowych
kartezja«skich wektora
a
pomi¦dzy dwiema bazami
{
e
}
i
{
e
0
}
. Wektor ten ma w obu bazach rozkład na
składowe
a
=
a
i
e
i
=
a
j
e
0
j
.
(20)
Wiemy ju», zgodnie z nasz¡ konwencj¡, jak transformuj¡ si¦ wersory bazowe:
e
0
i
=
Q
mi
e
m
,
(21)
a zatem
a
0
i
=
a
·
Q
mi
e
m
=
Q
mi
a
m
.
(22)
W notacji macierzowej odpowiada to równaniu
[
a
]
0
=[
Q
]
T
[
a
]
.
(23)
Uwaga:
Musimy tutaj odró»ni¢ dwa obiekty - powy»sze równanie dotyczy
tegosamego
wektora, ale repre-
zentowanego w innej bazie.
Niejest
ono równowa»ne równaniu
a
0
=
Q
T
a
, w którym
a
i
a
0
s¡ ró»nymi
wektorami, powi¡zanymi działaniem tensora
Q
T
.
2
Transformacja składowych kartezja«skich tensora
Podobnie mo»na pokaza¢, »e składowe katrezja«-
skie tensora
T
w dwóch bazach mo»na powi¡za¢ nast¦puj¡c¡ transformacj¡
T
0
ij
=
e
0
i
·
Te
0
j
=
Q
mi
e
m
·
T
Q
nj
e
n
=
Q
mi
Q
nj
e
m
Te
n
=
Q
mi
Q
nj
T
mn
,
(24)
która zapisana macierzowo ma posta¢
[
T
]
0
=[
Q
]
T
[
T
][
Q
]
.
(25)
Oczywi±cie poprzednia
Uwaga
pozostaje w mocy, wi¦c zapis ten
niejest
równowa»ny zapisowi
T
0
=
Q
T
TQ
, który wi¡»e dwa tensory
T
i
T
0
, a nie składowe tego samego tensora w ró»nych bazach.
Własno±ci transformacyjne i charakter tensorowy
Z powy»szych rozwa»a« wynika, »e do scharakte-
ryzowania wektora czy tensora wystarczy zna¢ jego składowe w pewnej bazie, poniewa» wiemy, jak trans-
formowa¢ je do dowolnej innej bazy. Mo»emy ogólnie sklasyfikowa¢ rozwa»ane obiekty ze wzgl¦du na to,
jak transformuj¡ si¦ one przy zmianie bazy. Rozwa»my ponownie dwie bazy
{
e
0
1
,
e
0
2
,
e
0
3
}
oraz
{
e
1
,
e
2
,
e
3
}
i wi¡»¡c¡ je transformacj¦ ortogonaln¡
e
0
i
=
Qe
i
.
Definiujemy wi¦c składowe kartezja«skie tensorów:
0
=
skalar (tensor rz¦du 0)
a
0
i
=
Q
mi
a
m
wektor (tensor rz¦du 1)
T
0
ij
=
Q
mi
Q
nj
T
mm
tensor (tensor rz¦du 2)
D
0
ijk
=
Q
mi
Q
nj
Q
pk
D
mnp
tensor rz¦du 3
C
0
ijkl
=
Q
mi
Q
nj
Q
pk
Q
ql
C
mnpq
tensor rz¦du 4
3
Plik z chomika:
x91s
Inne pliki z tego folderu:
transformacje.pdf
(133 KB)
naprężenie_i_odkształcenia.pdf
(211 KB)
Inne foldery tego chomika:
Bela Hamvas -- Filozofia wina
Caroll Quigley
Henryk Sienkiewicz
Mieczysław Grydzewski
Tajne oblicze GL-AL i PPR
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin