Literatura:

Krysicki, ... – Statystyka matematyczna

Luszniewicz – Statystyka stosowana

Sobczyk - Statystyka

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A oznacza się ogólnie jako: ,  0£P(A)£1

Permutacja

Wariacja bez powtórzeń

Wariacja z powtórzeniami

Kombinacja

Prawdopodobieństwo całkowite

Prawdopodobieństwo warunkowe

Zdarzenia niezależne

Schemat Bernoulliego , gdzie p – prawdopodobieństwo sukcesu w 1-ej próbie, q – prawdopodobieństwo porażki w 1-ej próbie, n –liczba prób, k –liczba sukcesów.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Statystyka matematyczna zajmuje się opisywaniem i analizą zjawisk masowych przy użyciu metod rachunku prawdopodobieństwa.

Populacja generalna – Ogół zbiorowości; założenie: przynajmniej jedna cecha wspólna

Jeśli badamy wszystkie elementy populacji generalnej to mamy do czynienia z badaniem kompletnym. Jeżeli mamy reprezentację danej populacji to mamy do czynienia z badaniem cząstkowym. Często badania kompletnego nie da się wykonać.

Próbka – stanowi reprezentację populacji. Częstości występowania w próbce każdej z badanych cech nie powinny się znacznie różnić od częstości występowania tych cech w populacji generalnej.

Próbka losowa prosta, n-elementowa – jest to próbka wylosowana z populacji w taki sposób, że przed jej pobraniem każdy podzbiór składający się z n elementów populacji generalnej ma takie samą szansę wylosowania.

Badaniu mogą podlegać cechy:

-         mierzalne (ilościowe) – np. długość, ciężar;

-         niemierzalne (jakościowe) – np. kolor, płeć, zawód (nadaje się im często wartości liczbowe – tzw. rangi).

Szereg rozdzielczy (tworzenie histogramu)

Mamy n elementową próbę wyników, uszeregowanych w sposób rosnący (x1...xn)

1.     Obliczamy rozstęp.

2.     Wyznaczamy ilość klas. .

3.     Wyznaczamy długość klasy. .

4.     Znając dokładność pomiaru a  (np. gdy wyniki są podane z dokładnością do jednego miejsca po przecinku to a=0,1) wyznaczamy dolną granicę pierwszej klasy .

5.     Dodając do początku każdej z klas długość klasy otrzymujemy poszczególne klasy. Wyniki, które mieszczą się w kolejnych przedziałach należą do kolejnych klas.

Np.:

Histogram (inaczej wykres słupkowy) to graficzne przedstawienie powyższej tabeli

Podstawowe statystyki sumacyjne:

1.     Estymatory wartości oczekiwanej

-         średnia arytmetyczna  ;

-         mediana – wartość środkowa (przy uszeregowaniu wyników w sposób rosnący, jeżeli mamy parzystą liczbę wyników to dwie środkowe dzielimy przez 2);

-         moda – najczęściej powtarzająca się wartość. Jeśli jest kilka wartości powtarzających się jednakowo często to mody nie ma. Modą nie może być ani wartość minimalna, ani maksymalna.

-         średnia geometryczna ;

oraz

-         kwartyl dolny – mediana z dolnej połowy (bierzemy połowę wyników i dodajemy medianę z całości i z tej grupy wyliczamy kolejną medianę)

-         kwartyl górny – mediana z górnej połowy (bierzemy drugą połowę wyników i dodajemy medianę na początek. Z tej grupy wyliczamy kolejną medianę)

2.     Miary rozproszenia

-         wariancja (moment centralny rzędu 2-go) . Dla małych prób .

-         Odchylenie standardowe

-         Błąd standardowy

3.     Miary asymetrii

-         skośność , gdzie to moment centralny rzędu 3-go; . Służy do badania asymetrii (czy rozkład wyników jest symetryczny względem średniej. Im mniejsza wartość skośności tym rozkład bardziej symetryczny (ujemna skośność – to symetria ujemna, czyli więcej wyników większych od średniej, jeśli skośność dodatnia to na odwrót)

-         kurtoza . Bada spłaszczenie rozkładu. Jeśli kurtoza=3 to rozkład zmiennej jest taki jak normalny (Gaussa), jeśli K>3 to większe spłaszczenie rozkładu niż w rozkładzie normalnym, jeśli K<3 to mniejsze spłaszczenie.

-         standaryzowany współczynnik skośności

-         standaryzowany współczynnik kurtozy

-         współczynnik zmienności

Funkcja gęstości

Funkcja gęstości jest krzywą powstałą na podstawie histogramu. Każda zmienna ma swoją własną krzywą gęstości. Najbardziej rozpowszechnioną w przyrodzie jest krzywa gęstości rozkładu Gaussa (rozkładu normalnego).

Ogólny wzór tej krzywej gęstości to:

Gdzie: s - odchylenie standardowe (dla całej populacji), m – wartość oczekiwana, e=2,7172.

W wypadku gdy mamy do czynienia z próbką w miejsce s i m wstawiamy wartości ich estymatorów (czyli najczęściej średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe s).

Standaryzacja zmiennej losowej do rozkładu normalnego:

W tablicach statystycznych mamy dostęp tylko do zestandaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1) (tzn., że wartość oczekiwana wynosi 0 a odchylenie standardowe 1). W przypadkach empirycznych zazwyczaj wartości te różnią się od wzorcowych.  Dlatego konieczne jest ich zestandaryzowanie.

Wówczas dla otrzymanej wartości można odczytać wartość tablicową z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego.

Tablice statystyczne można np. znaleźć pod następującymi adresami stron www:

http://math.uc.edu/~brycw/classes/148/tables.htm

http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/tables.html