wzory_matematyczne matura 2011.pdf

Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego

z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania

zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas

egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury.

Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy

z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji

egzaminacyjnych.

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie

i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

S PIS TREŚCI

1. Wartość bezwzględna liczby............................................................................ 1

2. Potęgi i pierwiastki .......................................................................................... 1

3. Logarytmy ........................................................................................................ 2

4. Silnia.Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2

5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2

6. Wzory skróconego mnożenia........................................................................... 3

7. Ciągi ................................................................................................................. 3

8. Funkcjakwadratowa ........................................................................................ 4

9. Geometriaanalityczna...................................................................................... 4

10. Planimetria ....................................................................................................... 6

11. Stereometria ................................................................................................... 12

12. Trygonometria................................................................................................ 14

13. Kombinatoryka............................................................................................... 15

14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15

15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16

16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych............................................... 17

1. W ARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

dla

⎧

= ⎨ −

≥

⎩

dla

Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności:

x ≥

x x

+≤+

x yxy

− ≤+

x yxy

⋅ =⋅

Ponadto, jeśli

y ≠ , to

Dla dowolnych liczb a oraz

r ≥ mamy warunki równoważne:

x ar

−≤ ⇔ −≤≤+

lub

arxar

x ar

−≥ ⇔ ≤−

xar

≥+

2. P OTĘGI I PIERWIASTKI

Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n –tą

potęgę:

aa a

=⋅⋅

...

razy

Pierwiastkiem arytmetycznym n

a stopnia n z liczby

a ≥ nazywamy liczbę

b ≥ taką,

= .

W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:

n ba

2 aa

= .

Jeżeli

a < oraz liczba n jest nieparzysta, to n

a oznacza liczbę

b < taką, że

n ba

= .

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

_____ * _____

Niech m , n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

− dla

a ≠ :

−

oraz

a =

− dla

a ≥ :

− dla

a > :

−

n m

Niech r , s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli

a > i

b > , to zachodzą

równości:

( ) s

aa a +

⋅ =

r s

⎛⎞ =

ab a b

⋅ =⋅

⎜ ⎝⎠

Jeżeli wykładniki r , s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla

wszystkich liczb

a ≠ i

b ≠ .

−=

Dla dowolnych liczb x, y mamy:

x yxy

że

−

a ⋅

( ) r

3. L OGARYTMY

c > przy podstawie a nazywamy

wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a , aby otrzymać liczbę c :

log

a > i

a ≠ . Logarytmem log a c liczby

= ⇔=

Równoważnie:

log a c

a c

a =

Dla dowolnych liczb

x > ,

y > oraz r zachodzą wzory:

log

( )

⋅ = +

log

x r

=⋅

log

= −

log

Wzór na zamianę podstawy logarytmu:

jeżeli

a > ,

a ≠ ,

b > ,

b ≠ oraz

c > , to

log

log x oznacza 10

log x .

4. S ILNIA . W SPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1

do n włącznie:

! 1 2 ...

n ≥ zachodzi związek:

( ) ( )

+=⋅ +

1! !

n n

_____ * _____

Dla liczb całkowitych n , k spełniających warunki 0 kn

≤ ≤ definiujemy współczynnik

dwumianowy

⎛⎞

⎜ ⎝⎠

(symbol Newtona):

⎛⎞ =

( )

⎝⎠

knk

−

Zachodzą równości:

( )( ) ( )

⎛⎞ =

−−⋅ ⋅ −+

2 ...

n k

⎝⎠

1 2 3 ...

⋅⋅⋅⋅

⎝⎠ ⎝ ⎠

⎛⎞ =

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎝⎠

n k

−

5. W ZÓR DWUMIANOWY N EWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a , b mamy:

( )

⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞

+= + ++ ++

−

...

a b

n k k

−

...

−

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟

⎜ ⎟ ⎜⎟

−

⎝⎠ ⎝⎠

⎝⎠

⎝ ⎠ ⎝⎠

Niech

x y

=⋅⋅ ⋅

Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = .

Dla dowolnej liczby całkowitej

⎜⎟

⎛⎞ ⎛ ⎞

6. W ZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy wzory dla dowolnych liczb a , b :

( ) 2

ab a abb

+=++

( ) 3

ab a ab ab b

+ =+ + +

( ) 2

ab a abb

−=−+

( ) 3

ab a ab ab b

− =− + −

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a , b zachodzi wzór:

( ) (

−

...

− −

...

b b

−

)

−= − +++

W szczególności:

( )( )

1 1

...

a −

ab abab

−=− +

− =− +

( )( )

a b aba abb

−=− ++

( ) ( )

− =− ++

( ) ( )

a a

( ) ( )

ab ababb

+=+ −+

+ =+ −+

a a

7. C IĄGI

• Ciąg arytmetyczny

Wzór na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego ( )

a o pierwszym wyrazie

a i różnicy r :

n aa n r

=+−

( )

Wzór na sumę

Saa a

= +++ początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

( )

...

= ⋅ =

an r

+−

⋅

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

−

dla

≥

• Ciąg geometryczny

Wzór na n– ty wyraz ciągu geometrycznego ( )

a o pierwszym wyrazie a i ilorazie q :

n aaq

=⋅

−

dla

≥

Wzór na sumę

Saa a

= +++ początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

...

⎧ −

⎪

⋅

dla

≠

= −

⎨

⎪ ⋅

⎩

dla

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

=⋅

1 dla

≥

− +

• Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat

wynosi %

p w skali rocznej, to kapitał końcowy

K wyraża się wzorem:

KK ⎛ ⎞

=⋅ +

⎝ ⎠

100

n k k

− = − + ++ ++ +

( ) ( ) (

ab aba ab ab

aaa

⎜ ⎟

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: