Stanisław G. Rohoziński
Instytut Fizyki Teoretycznej UW
semestr letni roku ak. 2004/2005
Klasyczny opis mikroskopowych zjawisk fizycznych: mechanika punktów materialnych. Opis układów makroskopowych: mechanika ośrodków ciągłych. Opisy Lagrange’a i Eulera. Pole fizyczne. Oddziaływania (nieskończonego zasięgu) istotne w opisie klasycznym: grawitacyjne i elektromagnetyczne. Klasyczna teoria oddziaływań elektromagnetycznych: elektrodynamika klasyczna.Historia rozwoju elektrodynamiki. Elektrodynamika jako unifikacja trzech dziedzin fizyki: optyki, magnetyzmu i elektryczności. Elektrodynamika mikroskopowa: ładunków punktowych. Elektrodynamika makroskopowa: ośrodków materialnych. Konieczność kwantowania elektrodynamiki klasycznej.
II.1. Mechanika relatywistyczna.
Przestrzeń zdarzeń Minkowskiego. Transformacja Poincarégo. Interwał czasoprzestrzenny. Tensor metryczny. Czas własny. Transformacje Lorentza i ich parametryzacja; pchnięcia i obroty. Niewłaściwe transformacje Lorentza, odwrócenie czasu, odbicia przestrzenne. Czterowektory i czterotensory. Czterotensor dualny. Relatywistyczny opis ruchu cząstki: linia świata, czteroprędkość i czteroprzyspieszenie, siła Minkowskiego, równanie ruchu. Cząstka w polu elektromagnetycznym. Ładunek elektryczny. Siła Lorentza. Czterotensor pola elektromagnetycznego. Czteropotencjał i jego cechowanie.
II.2. Zasada wariacyjna w mechanice i elektrodynamice.
Formalizm Lagrange’a dla równań ruchu cząstki w polu elektromagnetycznym: lagrangian, działanie, zasada najmniejszego działania, równania Eulera-Lagrange’a. Konstrukcja gęstości lagrangianu pola elektromagnetycznego: niezmienniczość względem transformacji Lorentza i transformacji cechowania, liniowość równań pola. Relatywistyczne niezmienniki pola elektromagnetycznego. Przenikalności magnetyczna i elektryczna próżni. Naturalne wymiary w elektrodynamice: długość, ładunek elektryczny (elementarny), prędkość (światła: średnia geometryczna przenikalności), potencjał elektryczny (energia na jednostkę ładunku). Jednostki w układzie SI. Oddziaływanie cząstki z polem elektromagnetycznym. Gęstość czteroprądu elektrycznego cząstki.
II.3. Czterowymiarowe sformułowanie elektrodynamiki.
Niejednorodne równania Maxwella (równania Eulera-Lagrange’a). Warunek rozwiązalności: zasada zachowania ładunku. Jednorodne równania Maxwella (tożsamości Bianchiego). Równania na czteropotencjał. Operator d’Alemberta. Warunek Lorentza. Symetryczny tensor energii-pędu. Równanie energii.
II.4. Trójwymiarowe sformułowanie elektrodynamiki.
(Trój)wektory pól: elektrycznego – e i magnetycznego b. Gęstość ładunku elektrycznego ρ i gęstość prądu elektrycznego j. Operator nabla. Dywergencja (rozbieżność) i rotacja (wirowość) pola wektorowego. Różniczkowe prawa Gaussa, Ampere’a-Maxwella i Faradaya. Bezwirowość pola magnetycznego. Równanie ciągłości. Gęstość energii pola elektromagnetycznego. Wektor Poyntinga. Równanie energii (twierdzenie Poyntinga). Gęstość pędu pola elektromagnetycznego. Tensor napięć Maxwella. Równanie pędu. Potencjały skalarny i wektorowy. Równania na potencjały. Cechowanie Lorentza i cechowanie Coulomba.
II.5. Pole elektromagnetyczne ładunku punktowego.
Równanie d’Alemberta (falowe). Funkcja Greena (propagator) równania falowego w nieskończonej przestrzeni. Funkcje opóźniona (retardowana) i przedwczesna (adwansowana). Rozwiązanie równania falowego przez funkcje Greena. Spełnienie warunku Lorentza. Potencjały Liénarda-Wiecherta. Tensor pola elektromagnetycznego ładunku punktowego. Potencjał skalarny i pole elektryczne ładunku spoczywającego: prawo Coulomba. Pola elektryczne i magnetyczne ładunku poruszającego się. Pola kwazistatyczne (bliskie) i promieniowania (dalekie). Zjawisko promieniowania. Prąd (wektor Poyntinga) promieniowania. Rozkład kątowy i moc promieniowania – wzory Liénarda i Larmora. Opór promieniowania. Niekonsystencja mechaniki i elektrodynamiki klasycznej. Potrzeba kwantowania.
III.1. Makroskopowe równania Maxwella.
Potrzeba sformułowania teorii makroskopowej do opisu zjawisk elektromagnetycznych w ośrodkach materialnych. Skale mikroskopowa i makroskopowa. Średniowanie wielkości mikroskopowych po obszarze makroskopowym. Funkcja rozmycia. Warunek plateau. Makroskopowe pole elektryczne E. Makroskopowe pole magnetyczne B (powszechna nazwa – pole indukcji magnetycznej). Makroskopowe jednorodne równania Maxwella. Naiwny model molekularny ośrodków materialnych. Ładunki swobodne i związane (w molekułach). Mikroskopowa skala molekuł. Średnia gęstość ładunku <ρ>. Makroskopowa gęstość ładunku Q. Polaryzacja ośrodka P. Zjawiska prowadzące do polaryzacji. Ośrodki polarne. Pole przesunięć elektrycznych D (powszechna nazwa – pole indukcji elektrycznej). Makroskopowe prawo Gaussa. Średnia gęstość prądu <j>. Makroskopowa gęstość prądu J. Magnetyzacja ośrodka M. Makroskopowe równanie ciągłości. Pole uszeregowań magnetycznych H (powszechna nazwa – pole magnetyczne). Diamagnetyzm i paramagnetyzm. Precesja Larmora orbit molekularnych. Makroskopowe prawo Ampere’a-Maxwella. Makroskopowy wektor Poyntinga. Makroskopowe równanie energii. Zmiany gęstości energii pola w jednostce czasu.
III.2. Równania materiałowe (konstytutywne).
Sposoby otrzymywania równań materiałowych: (i) wyprowadzanie metodami statystycznymi z teorii mikroskopowej opisującej dany ośrodek, (ii) ustalanie związków fenomenologicznych. Ogólne założenia związków fenomenologicznych: (i) wielkości wtórne charakteryzujące ośrodek (polaryzacja, magnetyzacja, gęstość prądu elektrycznego) są funkcjonałami makroskopowych pól pierwotnych, elektrycznego i magnetycznego, (ii) spełniona zasada przyczynowości, (iii) spełnione zasady termodynamiki. Ogólna postać równań materiałowych. Tensorowe podatności materiałowe. Charakterystyczne skale ośrodka: czas i odległość korelacji. Charakterystyczny skale zmienności pól: okres drgań, długość fali. Postacie równań materiałowych przy różnych relacjach skal i natężeń pól.
Równania lokalne. Związki różniczkowe. Analiza Fouriera równań materiałowych – równania dla transformat Fouriera. Równania liniowe i nieliniowe. Ośrodki jednorodne i niejednorodne, izotropowe i anizotropowe.
III.3. Przykłady równań materiałowych.
III.3.1. Polaryzacja elektryczna.
Dielektryki (izolatory). Tensory podatności i przenikalności elektrycznej ośrodka. Stała dielektryczna. Piezoelektryki, pyroelektryki, ferroelektryki.
III.3.2. Prąd elektryczny.
Przewodniki prądu elektrycznego. Tensor przewodnictwa elektrycznego. Prawo Ohma. II prawo Kirchhoffa. Gęstość siły elektromotorycznej żrodła prądu. Przewodniki doskonałe. Nadprzewodniki. Równanie Londonów.
III.3.3. Magnetyzacja.
Diamagnetyki. Paramagnetyki. Tensory podatności i przenikalności magnetycznej. Względna przenikalność magnetyczna. Histereza magnetyczna. Magnetyki miękkie i twarde. Magnesy trwale. Ferromagnetyki.
III.3.4. Równania Maxwella dla ośrodków liniowych.
Standardowe związki pomiędzy E i D oraz B i H dla ośrodków liniowych. Zamknięty układ równań Maxwella. Gęstość energii pola elektromagnetycznego w ośrodkach liniowych.
III.4. Pola statyczne i stacjonarne.
III.4.1. Elektrostatyka.
Potencjał elektrostatyczny. Równanie Poissona. Warunki graniczne dla wektorów D i E na powierzchniach nieciągłości. Powierzchniowa gęstość ładunku. Funkcje Greena równania Poissona (potencjał jednostkowego ładunku punktowego w próżni). Metoda obrazów. Ładunki indukowane. Wyrażenie funkcji Greena przez funkcje własne i wartości własne laplasjanu. Zagadnienia brzegowe Dirichleta i Neumanna. I wzór Greena i jednoznaczność rozwiązań zagadnień Dirichleta i Neumanna. II i III wzór Greena. Funkcje Greena dla zagadnień Dirichleta i Neumanna. Twierdzenie o wzajemności. Potencjał ciągłych rozkładów ładunków. Momenty multipolowe rozkładu ładunków. Szereg multipolowy dla potencjału. Własności elektrostatyczne przewodników. Układ przewodników – współczynniki pojemności własnej i wzajemnej.
III.4.2. Magnetostatyka.
Prądy stałe. I prawo Kirchhoffa. Równania na stacjonarne pole magnetyczne. Warunki graniczne na pola B i H na powierzchniach nieciągłości. Powierzchniowa gęstość prądu. Potencjał wektorowy i pole magnetyczne prądu stałego. Prawo Biota-Savarta. Momenty multipolowe magnetyczne rozkładu prądu. Szereg multipolowy dla potencjału wektorowego. Pole magnetyczne magnesów trwałych. Potencjał skalarny magnetostatyczny. Pole magnetostatyczne H przy zadanej magnetyzacji. Potencjał wektorowy i pole B przy zadanej magnetyzacji.
III.5. Fale elektromagnetyczne
Pojęcie fal elektromagnetycznych: rozwiązania jednorodnych równań Maxwella.
III.5.1. Fale w próżni i izotropowych izolatorach liniowych.
Równania na potencjały z warunkiem cechowania Coulomba. Bezźródłowość (poprzeczność) potencjału wektorowego. Współczynnik załamania. Ogólne rozwiązanie jednorodnego równania falowego. Fala monochromatyczna. Częstość fali. Średnie (w czasie) wartości wektora Poyntinga i gęstości energii. Fala płaska. Wektor falowy. Równanie dyspersyjne. Prędkość fazowa i grupowa. Zespolona amplituda fali. Polaryzacja eliptyczna, liniowa i kołowa fali płaskiej. Transport energii w fali płaskiej. Przechodzenie fali płaskiej przez granicę ośrodków. Odbicie i załamanie. Prawo Snella. Równania Fresnela dla amplitud fali. Kąt Brewstera.
III.5.2. Fale w dielektrykach anizotropowych.
Główne osie dielektryczne. Kryształy regularne, jednoosiowe i dwuosiowe. Elipsoida tensora dielektrycznego. Fala płaska w ośrodku anizotropowym. Wektor współczynnika załamania. Pola B, H, E i D fal płaskich w krysztale. Polaryzacja fal w krysztale. Równanie dyspersyjne Fresnela dla kryształów. Powierzchnia wektorów falowych. Wektor promienia. Średni wektor Poyntinga – jego kierunek. Prędkość fazowa i grupowa fali w ośrodku anizotropowym. Liczba rozwiązań równania dyspersyjnego. Rząd równania powierzchni wektorów falowych.
III.5.3. Fale w ośrodkach dyspersyjnych.
Równanie materiałowe dla wektora przesunięć elektrycznych w izotropowym dielektryku dyspersyjnym. Zespolona funkcja przenikalności elektrycznej. Fala płaska w dielektryku dyspersyjnym. Równanie dyspersyjne.. Prędkości fazowa i grupowa. Zjawiska dyspersji i tłumienia fali. Współczynniki załamania i tłumienia. Ośrodki przezroczyste. Prędkość grupowa fali w ośrodku przezroczystym.
III.5.4. Fale w ośrodkach przewodzących.
Równanie telegrafistów. Fala płaska spełniająca równanie telegrafistów. Równanie dyspersyjne dla ośrodka przewodzącego. Dyspersja i tłumienie fali w złym przewodniku. Dyspersja i tłumienie fali w dobrym przewodniku. Efekt naskórkowy.
III.5.5. Falowody.
Warunki brzegowe na ścianach falowodu. Równania dla fal płaskich w falowodzie. Fale poprzeczne elektromagnetyczne (TEM) i możliwość ich rozchodzenia się. Warunki brzegowe i równania dla fal poprzecznych magnetycznych (TM) i poprzecznych elektrycznych (TE). Fale własne (mody) w falowodzie. Częstość graniczna dla danego modu. Fale biegnące i tłumione. Prędkości fazowa i grupowa danej fali własnej. Średni wektor Poyntinga i transport energii w falowodzie.
III.6. Wytwarzanie fal elektromagnetycznych.
Niejednorodne równania falowe na potencjały przy zadanych źródłach w ośrodku liniowym. Uwagi o ogólnym rozwiązaniu równania falowego. Warunki początkowe (Cauchy’ego) i brzegowe (Dirichleta lub Neumanna) dla równania falowego. Efekty włączeniowe. Propagator opóźniony w nieskończonej przestrzeni. Rozwiązania opóźnione na potencjały spełniające warunek Lorentza. Wzory Jefimienki na pola elektryczne i magnetyczne wytworzone przez źródła zmienne w czasie. Uogólnione wzory Coulomba i Biota-Savarta. Pola promieniowania.
Literatura
1. D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, (PWN, Warszawa, 2005)
2. J.D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, (PWN, Warszawa, 1982)
3. L. Landau i E. Lifszic, Elektrodynamika ośrodków ciągłych, (PWN, Warszawa, 1960)
5
marekpel