Źródła zmiany wartości pieniądza w czasie :
Przyrost wartości kapitału z upływem czasu jest naturalną konsekwencją jego udziału w racjonalnym procesie pracy.
Tym samym można stwierdzić, że przyszłej wartości kapitału odpowiada jego mniejsza wartość w chwili obecnej.
Zmiana wartości pieniądza w czasie spowodowana jest również inflacją, która odzwierciedla dynamiczne stany otoczenia gospodarczego.
Podstawowe formuły matematyczne dotyczące przyszłej wartości pieniądza:
PV0 – kapitał początkowy,
FV1 - kapitał po upływie jednego roku.
Wskaźnik R tempa rocznego przyrostu kapitału :
R =
__ ___
W przypadku depozytu PVo złożonego do banku na 1 rok, przy tempie R rocznego przyrostu (oprocentowaniu rocznym), na koniec roku będziemy dysponowali kwotą FV1 :
FV1 = PV0 + RPV0 = PV0 (1 + R)
W przypadku pobranego kredytu :
Kwota zwrotu = Kwota kredytu + Odsetki od kredytu
Odsetki od kredytu są ceną za udostępnienie określonej kwoty na określony okres czasu.
= Kwota kredytu x Roczna ( R ) stopa procentowa kredytu.
Przy naliczenia odsetek za korzystanie z kredytu w okresie „t” dni,
odsetki za ten okres = Kwota kredytu x R
gdzie : t - okres korzystania z kredytu w dniach,
R - roczna stopa oprocentowania kredytu,
360 – długość roku bankowego w dniach.
Oznaczając przez „r” oprocentowanie kredytu za okres „t” dni
można napisać :
R = r
Przykład :
Oblicz kwotę zwrotu (KZ) dla kredytu K= 100 000zł. udzielonego na 3 m-ce (90 dni), oprocentowanego stopą roczną R = 40 % i spłaconego jednorazowo.
Oprocentowanie za 3 m-ce r = 40 % = 10% = 0,10
KZ = 100 000 + 100 000 10% = 100 000(1 + 0,10) = 110 000zł,
gdzie 100 000 10 % = 10 000 zł. jest kwotą odsetek za 3 m-ce.
Przykład : Oblicz maksymalną roczną R stopę oprocentowania kredytu zaciągniętego na inwestycję wymagającą bieżącego zaangażowania 20 tys. zł, która w ciągu 3 m-cy ma przynieść 25 tys. zł. przychodu. Kredyt zostanie spłacony po 3 m-cach.
Założenie wstępne : odsetki nie mogą przekroczyć dochodu =
= 25 000 zł – 20 000 zł = 5 000 zł.
Ponieważ :
Ods. = Kredyt x R , to R = - R
stąd :
R = 1 = 100 %
Gdyby zaistniała potrzeba naliczenia odsetek za okres dłuższy, równy „n” wielokrotności 3 m-cy, gdzie 3 m-ce przyjmiemy za okres bazowy, odsetki te można naliczyć wg. wzoru :
Odsetki = K x (r x n).
Przyjmując dane z Przykładu 1 ale przy założeniu, że kwota zwrotu KZ będzie spłacona jednorazowo po upływie 1 roku, tzn. po n = 4 okresach bazowych otrzymamy :
KZ = 100 000 + 100 000(0,10 4) =
= 100 000 (1 + 0,40) = 140 000zł.
Uwzględniając powyższe, algorytm oprocentowania prostego, które polega na naliczania odsetek od kapitału początkowego
PVo proporcjonalnie do upływu czasu oraz do wysokości oprocentowania za okres bazowy, można zapisać w sposób następujący :
FVn = PVo + PVo (r n) = PVo ( 1 + r n)
gdzie :
FVn - końcowa wartość kapitału wraz z odsetkami naliczonymi
za „n” okresów bazowych,
PVo - kapitał początkowy oprocentowany w „n” okresach
bazowych,
r - wysokość oprocentowania za 1 okres bazowy, wyrażona w
liczbie dziesiętnej,
n - liczba okresów bazowych,
- symbol mnożenia ;
Łatwo zauważyć, że tempo narastania odsetek w oprocentowaniu prostym ma charakter liniowy, proporcjonalny do upływu czasu i oprocentowania odniesionego do określonej jednostki czasu.
r R
0 t 1 rok (360 dni)
Oprocentowanie złożone
W oprocentowaniu złożonym odsetki za kolejne okresy bazowe naliczane są od kapitału początkowego powiększanego o naliczone wcześniej odsetki.
Po upływie 1-szego okresu bazowego :
FV1 = PV0 + rPV0 = PV0 (1 + r),
Po upływie 2-giego okresu bazowego :
FV2 = FV1 + rFV1 = FV1(1 + r) = PV0(1 + r)(1 +r) =
= PV0(1 + r)2
Po upływie n –tego okresu bazowego :
FVn = PV0(1 + r)n Jest to formuła % składanego
Przykład
Jakim kapitałem FV3 można dysponować po 3 latach,
składając do banku kapitał PV0 = 455 zł przy rocznym
oprocentowaniu (tempie pomnażania) r = 30 % /0,30/
Rozwiązanie : FVn = PV0(1 + r)n
FV3 = 455zł x (1 + 0,30)3 = 455 x 2,197 = 1 000 zł.
FV3 ---------------------------------------------------
∆3 = rFV2
FV2 --------------------------------------------
∆2 = rFV1
FV1 -------------------------------
PVo --------------- ∆1=rPVo
lata
0 1 2 3
FV3 = PVo + ∆1 + ∆2 + ∆3
Stopa procentowa nominalna określa wysokość oprocentowania kapitału w okresie bazowym.
Np. : jeżeli bank oprocentowuje depozyty stopą 20 % w skali roku a odsetki dolicza raz w roku, to roczna stopa procentowa nominalna wynosi 20 % i w takim samym stopniu następuje realny przyrost kapitału w ciągu roku, co oznacza że stopa procentowa nominalna jest równa stopie efektywnej.
Jeżeli ww. bank dokonywałby doliczania odsetek w okresach półrocznych, to długość okresu bazowego wynosiłaby ½ roku a oprocentowanie „r” w tym okresie wynosiłoby ½ oprocentowania rocznego tzn. 10 %. Liczba okresów bazowych w roku wynosiłaby 2 a efekt przyrostu kapitału w ciągu roku byłby większy od 20 %.
Bank podaje, że roczne oprocentowanie depozytów R wynosi 20% przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Jaką efektywną roczną stopę procentową oferuje w ten sposób bank swoim klientom ?
□ 20 % ?
□ 21 % ?
□ 21,5 % ?
Rozwiązanie :
Efektem oprocentowania depozytu 1 raz w roku byłby 20 % przyrost depozytu tzn. stopa procentowa nominalna byłaby równa stopie efektywnej. Ponieważ bank oprocentowuje depozyty 2 x w roku, doliczając odsetki do depozytu po upływie ½ roku, to efekt takiego oprocentowania wyraża formuła procentu składanego :
FVn = PVo(1 + r)n .
W konkretnym przypadku liczba okresów oprocentowania „n” w ciągu roku = 2 a półroczna stopa oprocentowania r=R/2 = 10 %.
Wobec powyższego wysokość odsetek rocznych wynosi :
Odsetki = PVo(1 + 0,10)2 - PVo = PVo[(1 + 0,10)2 - 1]
co oznacza, że Efektywna Roczna Stopa Procentowa (ERSP)
ERSP = (1 + 0,10)2 – 1 = 1,12 -1 = 0,21=21%
...
Maggia