matematyka finansowa.pdf

Matematyka ﬁnansowa

1. Procent, Stopa Procentowa

Deﬁnicja 1.1 Procentem nazywamy setn¡ cz¦±¢ cało±ci.

Przykład 1.1 Mamy na inwestycji 5000 zł. zarobi¢8%, tzn.

8% ¢ 5000=0 ; 08 ¢ 5000=400zł.

Przykład 1.2 Cena produktu uległa podwy»ce o25%i wynosi250j.p. (jednostek

pieni¦»nych). Wyznaczy¢ poprzedni¡ cen¦ tego produktu.

Ustalamy proporcje

x¡ 100%

250 ¡ 125%

125% ¢ 100%=200j.p.

Przykład 1.3 Cena produktu uległa obni»ce o25%. Wyznaczyc pierwotn¡ cen¦

towaru, je±li cena obecna wynosi 250 j.p.

x¡ 100%

250 ¡ 75%

75% ¢ 100%=333 ; 33j.p.

Deﬁnicja 1.2 Okresowa stopa procentowa jest to stosunek ceny po»yczonego

kapitału na dany okres do warto±ci tego kapitału.

W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopami ustalonymi dla okresu rocznego

i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej. Stosuje si¦ równie» stopy półroczne,

kwartalne i miesi¦czne.

Stopa procentowa zale»y od poziomu inﬂacji, ryzyka po»yczenia pieni¦dzy i od mar»y

Wtedy x = 250

A wi¦c x = 250

(zysku) po»yczaj¡cego.

Deﬁnicja 1.3 Odsetkami uzyskanymi z kwoty K 0 jednostek pieni¦»nych za dany

okres (rok, kwartał, miesi¡c) przy okresowej stopie procentowej r nazywamy iloczyn

O = r¢K 0 .

Deﬁnicja 1.4 Punktem procentowym (pp.) nazywamy bezwzgl¦dn¡ ró»nic¦ mi¦dzy

wielko±ciami wyra»onymi procentowo.

Zakładaj¡c, »e stopa bezrobocia wynosi10%, a kilka lat wcze±niej wynosiła20%

mo»na powiedzie¢, »e obni»yła si¦ ona o połow¦, a wi¦c o50%. Mo»na równie»

powiedzie¢, »e obni»yła sie o10pp.

Rodzaje stóp procentowych.

Deﬁnicja 1.5 Nominalna stopa procentowa ( r ) jest to stopa podawana przez banki

lub inne instytucje ﬁnansowe.

Obserwowany w rzeczywisto±ci poziom stóp procentowych zale»y od poziomu

inﬂacji. Po wyeliminowaniu czynnika inﬂacji otrzymamy stop¦ realn¡.

Deﬁnicja 1.6 Stopa realna ( r r ) jest to stopa nominalna pomniejszona o wpływ

inﬂacji.

Zachodzi nast¦puj¡cy wzór Fishera:

r = r r + r i + r r ¢r i lub r r = r¡r i

1+ r i

gdzie r i oznacza stop¦ inﬂacji.

Przykład 1.4 Wyznaczy¢ realna stop¦ procentow¡, je»eli stopa nominalna banku

wynosi5%, a roczna stopa inﬂacji3%.

Rozwi¡zanie. r r = 0 ; 05 ¡ 0 ; 03

1+0 ; 03 = 0 ; 02

Deﬁnicja 1.7 Faktyczna stopa procentowa r f jest to stopa uwzgl¦dniaj¡ca podatek

dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych.

r f = r¢ (1 ¡T ), gdzie T jest stop¡ podatku dochodowego od zysków z inwestycji

kapitałowych i w Polsce T =19%.

1 ; 03 =0 ; 0194.

Realna stopa procentowa wynosi r r =1 ; 94%.

Przykład 1.5 Obliczy¢ faktyczna stop¦ procentow¡, je±li r =4%.

Rozwi¡zanie. r f =4% ¢ (1 ¡ 0 ; 19)=3 ; 24%.

Deﬁnicja 1.8. Oprocentowanie jest to czynno±¢ okresowa polegaj¡ca na dodawaniu

odsetek z posiadanego kapitału do tego kapitału.

Deﬁnicja 1.9 Oprocentowanie proste polega na tym, »e odsetki uzyskane w okresach

poprzednich nie podlegaj¡ oprocentowaniu w okresie nast¦pnym, s¡ tylko dodawane

w ka»dym okresie do kapitału.

Oprocentowanie proste stosuje si¦ w obliczeniach dotycz¡cych bankowych transakcji

krótkoterminowych oraz umów zawieranych poza sfer¡ bankow¡.

Kapitał przyszły K p n oraz kwot¦ odsetek O n po n okresach naliczania odsetek

obliczamy ze wzorów:

K p n = K 0 ¢ (1+ n¢r ) ; O n = K 0 ¢n¢r; K p n = K 0 + O n :

Gdy stopy procentowe s¡ zmienne wtedy stosujemy wzór:

K p n 1 + n 2 + ::: + n m = K 0 ¢ (1+ n 1 ¢r 1 + n 2 ¢r 2 + :::n m ¢r m )

Przykład 1.6 W banku, w którym roczna stopa procentowa r =4%zło»ono kwot¦

5000zł. Obliczy¢ warto±¢ kapitału po a) roku, b) dwóch latach, c)pół roku, d) 9-ciu

miesi¡cach, e) 108-miu dniach.

Rozwi¡zanie.

Obliczamy faktyczn¡ stop¦ procentow¡ r f =4% ¢ (1 ¡ 0 ; 19)=3 ; 24%.

a) K p 1 =5000(1+1 ¢ 0 ; 0324)=5162zł.

b) K p 2 =5000(1+2 ¢ 0 ; 0324)=5324zł.

c) K p 1 = 2 =5000(1+ 1 2 ¢ 0 ; 0324)=5081zł.

d) K p 9 = 12 =5000(1+ 9 12 ¢ 0 ; 0324)=5121 ; 5zł.

Warto±ci 1 2 ¢ 0 ; 0324oraz 9 12 ¢ 0 ; 0324nosz¡ nazwy stóp sródokresowych (lub

podokresowych) odpowiednio półrocznej i miesi¦cznej.

Ogólnie stopa ±ródokresowa i k = a¢r , gdy r jest na ogół roczn¡ stop¡ procentow¡

oraz a cz¦±ci¡ roku.

e) W praktyce bankowej przyjmuje si¦, »e rok ma 360 dni, a ka»dy miesi¡c 30 dni.

K p =5000(1+ 108

360 ¢ 0 ; 0324)=5048 ; 6zł.

Przykład 1.7 Obliczy¢ stan kapitału po roku, je±li warto±¢ kapitału pocz¡tkowego

wynosi 1000 zł. przy zało»eniu, »e roczna stopa procentowa w pierwszych 4-ch

miesi¡cach wynosi12%, w dwóch kolejnych m-cach10%, a w 6-ciu nast¦pnych9%.

Rozwi¡zanie. Obliczamy faktyczne stopy procentowe.

r 1 =12% ¢ 0 ; 81=9 ; 72% r 2 =10% ¢ 0 ; 81=8 ; 1% r 3 =9% ¢ 0 ; 81=7 ; 29%

Poszczególne ±ródokresy s¡ równe n 1 = 4 12 ;n 2 = 2 12 ;n 3 = 6 12 :

Zatem

12 ¢ 0 ; 0729)=1082 ; 35zł

Deﬁnicja 1.10 Przeci¦tn¡ stop¡ procentow¡ ( r ) w okresie n = n 1 + n 2 + ::: + n m

nazywamy tak¡ roczn¡ stop¦ procentow¡, przy której dowolny kapitał pocz¡tkowy

osi¡gnie po okresie n tak¡ sam¡ warto±¢ przyszł¡, któr¡ osi¡ga przy zró»nicowanych

stopach procentowych r 1 ;r 2 ;:::;r m , tzn. musi by¢ spełnione poni»sze równanie

3 ¢ 0 ; 0972+ 1

6 ¢ 0 ; 081+ 6

K 0 (1+ rn )= K 0 (1+ n 1 r 1 + n 2 r 2 + ::: + n m r m )

Przeci¦tna stopa procentowa

r = 1

m X

n j r j = n 1 r 1 + n 2 r 2 + ::: + n m r m

n 1 + n 2 + ::: + n m

j =1

Przykład 1.8 Na podstawie danych z poprzedniego przykładu obliczy¢ r .

Rozwi¡zanie.

3 ¢ 0 : 12+ 1 6 ¢ 0 ; 10+ 1 2 ¢ 0 ; 09

r =

3 + 1 6 + 1 2

=0 ; 1017

A wi¦c r =10 ; 17%.

Deﬁnicja 1.11 Dyskontowanie proste jest to obliczanie warto±ci kapitału pocz¡tkowego

K 0 na podstawie warto±ci kapitału ko«cowego K n . Stosujemy wzór

K 0 = K p n

1+ nr

K p =1000(1+ 1

Dyskontem prostym nazywamy ró»nic¦ D = K n ¡K 0 .

Przykład 1.9 Za 30 dni mamy otrzyma¢ zapłat¦ za dostarczone towary w wysoko±ci

2000 zł. Obliczy¢ bie»¡c¡ warto±¢ tej kwoty przy zało»eniu nominalnej stopy procentowej

r =32%.

360 ¢ 0 ; 32 =1948 ; 05zł.

Deﬁnicja 1.12 Dyskontem handlowym nazywamy opłat¦ pobieran¡ z góry za prawo

korzystania z cudzego kapitału naliczan¡ w stosunku do kapitału ko«cowego.

Stosunek dyskonta handlowego do kwoty nale»nej wierzycielowi po upływie roku

nazywamy roczn¡ stop¡ dyskontow¡ i oznaczamy przez d .

Warto±¢ dyskonta handlowego za czas n jest okre±lona wzorem

D H = K n ¢d¢n

Kwota kapitału, któr¡ dłu»nik otrzymuje "do r¦ki" stanowi warto±¢ zdyskontowan¡:

K 0 = K n ¡D H = K n (1 ¡dn )

Przykład 1.13 Bior¡c K n i K 0 z przykładu poprzedniego obliczmy stop¦ dyskontow¡

d .

Rozwi¡zanie. Najpierw obliczamy dyskonto handlowe

D H = K n ¡K 0 =2000 ¡ 1948 ; 05=51 ; 95 :

d = D H

K n ¢n = 51 ; 95

2000 ¢ 30

360

=0 ; 3117

Stopa dyskontowa wynosi31 ; 17%, a wi¦c jest ni»sza (w tym przypadku) od stopy

procentowej.

Uwaga. Równo±¢ D = D H zachodzi wtedy, gdy prawdziwe jest równanie

d ¡ 1

r :

Rozwi¡zanie. K 0 = 2000

1+ 30

n = 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: